電氣工程中使用的數(shù)學(xué)將電阻，電流或直流電壓加在一起使用所謂的“實(shí)數(shù)”，用作整數(shù)或分?jǐn)?shù)。

但實(shí)數(shù)不是我們需要使用的那種數(shù)字，特別是在處理頻率相關(guān)的正弦源和矢量時(shí)。除了使用正常數(shù)字或?qū)崝?shù)之外，還引入了復(fù)數(shù)，以便使用負(fù)數(shù)的平方根，√ 來解決復(fù)雜方程式。 1 。

在電氣工程中，這種類型的數(shù)字稱為“虛數(shù)”，為了區(qū)分虛數(shù)和實(shí)數(shù)，字母“ j ”已知通常在電氣工程中使用j-operator。因此，字母“ j ”放在實(shí)數(shù)前面以表示其虛數(shù)操作。

虛數(shù)的例子是： j3 ， j12 ， j100 等。然后復(fù)數(shù)由兩個(gè)不同但非常相關(guān)的部分組成，“實(shí)數(shù)”加上“虛數(shù)” “。

復(fù)數(shù)表示二維復(fù)數(shù)或s平面中以兩個(gè)不同軸為參照的點(diǎn)。水平軸稱為“實(shí)軸”，而垂直軸稱為“虛軸”。復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別縮寫為Re（z）和Im（z）。

由實(shí)數(shù)（有效成分）和虛數(shù)（無功成分）組成的復(fù)數(shù)）數(shù)字可以加上，減去和使用，與用基本代數(shù)分析直流電路完全相同。

數(shù)學(xué)中用于加減虛數(shù)的規(guī)則和定律與對(duì)于實(shí)數(shù)，j2 + j4 = j6等。唯一的區(qū)別在于乘法，因?yàn)閮蓚€(gè)虛數(shù)相乘在一起變?yōu)樨?fù)實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)也可以被認(rèn)為是一個(gè)復(fù)數(shù)，但假想零部分標(biāo)記為j0。

j-operator的值恰好等于√ -1 ，因此“ j ”，（ jxj ）的連續(xù)乘法將導(dǎo)致 j 具有以下值為 -1 ， -j 和 +1 。由于j運(yùn)算符通常用于指示向量的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，因此每個(gè)連續(xù)的乘法或冪“ j ”， j 2 ，j 3 等將迫使矢量沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)固定角度90° o ，如下所示。同樣，如果向量的乘法產(chǎn)生 -j 運(yùn)算符，則相移將為-90 o ，即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

矢量旋轉(zhuǎn)的j運(yùn)算符

因此，通過將虛數(shù)乘以 j 2 將向量旋轉(zhuǎn) 180 o 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，乘以 j 3 旋轉(zhuǎn) 270 o 并通過 j 4 將其旋轉(zhuǎn) 360 o 或回到原來的位置。乘以 j 10 或 j 30 將導(dǎo)致向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)牧俊Ｔ诿看芜B續(xù)旋轉(zhuǎn)中，矢量的大小始終保持不變。

在電氣工程中，有不同的方式以圖形或數(shù)學(xué)方式表示復(fù)數(shù)。使用余弦和正弦規(guī)則的一種方法稱為笛卡爾或矩形形式。

使用矩形形式的復(fù)數(shù)

在關(guān)于Phasors的最后一個(gè)教程中，我們看到一個(gè)復(fù)數(shù)由一個(gè)實(shí)部和一個(gè)虛部表示，它采用通用形式：

其中：

Z - 是代表向量的復(fù)數(shù)

x - 是實(shí)部或活動(dòng)部件

y - 是虛部或反應(yīng)部件

j - 由√ -1

定義在矩形形式中，復(fù)數(shù)可以表示為二維點(diǎn)平面稱為復(fù)合或s-plane。因此，例如， Z = 6 + j4 表示單個(gè)點(diǎn)，其坐標(biāo)在水平實(shí)軸上表示6，在垂直虛軸上表示4，如圖所示。

使用復(fù)數(shù)復(fù)雜或s面

但是，由于矩形形式的復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都可以是正數(shù)或負(fù)數(shù)，因此實(shí)軸和虛軸都必須同時(shí)擴(kuò)展。正面和負(fù)面的方向。然后產(chǎn)生一個(gè)復(fù)雜的平面，有四個(gè)象限，稱為Argand Diagram，如下所示。

四象限Argand圖

在Argand圖上，橫軸表示垂直虛軸右側(cè)的所有正實(shí)數(shù)，以及垂直虛軸左側(cè)的所有負(fù)實(shí)數(shù)。所有正虛數(shù)都表示在水平軸上方，而所有負(fù)虛數(shù)都低于水平實(shí)軸。然后生成一個(gè)二維復(fù)平面，其中有四個(gè)不同的象限，標(biāo)記為 QI ， QII ， QIII 和 QIV 。

上面的Argand圖也可用于表示旋轉(zhuǎn)相量作為復(fù)平面中的一個(gè)點(diǎn)，其半徑由相量的大小給出，每個(gè)將圍繞它繪制一個(gè)完整的圓2π/ω秒。

然后我們可以進(jìn)一步擴(kuò)展這個(gè)想法，以顯示旋轉(zhuǎn)90° o 的極坐標(biāo)和矩形形式的復(fù)數(shù)的定義。

復(fù)數(shù)也可以有“零”實(shí)部或虛部等as： Z = 6 + j0 或 Z = 0 + j4 。在這種情況下，點(diǎn)直接繪制在實(shí)軸或虛軸上。此外，復(fù)數(shù)的角度可以使用簡(jiǎn)單的三角法計(jì)算，以計(jì)算直角三角形的角度，或者從正實(shí)軸開始沿著Argand圖逆時(shí)針測(cè)量。

然后角度0和90 o 將位于第一象限（ I ），角度（θ）介于90和180之間 o 在第二象限（ II ）。第三象限（ III ）包括180到270 o 之間的角度，而完成整個(gè)圓圈的第四個(gè)和最后一個(gè)象限（ IV ）包括270和360之間的角度 o 等。在所有四個(gè)象限中，相關(guān)角度可以從以下位置找到：

tan -1 （虛構(gòu)成分÷實(shí)部成分）

復(fù)數(shù)的加法和減法

復(fù)數(shù)的加或減可以數(shù)學(xué)方式或以矩形形式進(jìn)行圖形化。另外，實(shí)際部分首先加在一起形成和的實(shí)部，然后虛部形成和的虛部，這個(gè)過程如下使用兩個(gè)復(fù)數(shù) A 和 B 作為示例。

復(fù)雜的加法和減法

復(fù)數(shù)示例No1

兩個(gè)向量分別定義為 A = 4 + j1 和 B = 2 + j3 。確定矩形（ a + jb ）形式的兩個(gè)向量的和與差，并以圖形方式確定為Argand圖。

數(shù)學(xué)加法和減法

<跨度>加成

減法

圖形添加和減法

復(fù)數(shù)的乘法和除法

矩形形式中復(fù)數(shù)的乘法或多或少跟隨與正規(guī)代數(shù)相同的規(guī)則以及運(yùn)算符的連續(xù)乘法的一些附加規(guī)則，其中： j 2 = - 1 。因此，例如，將 A = 4 + j1 和 B = 2 + j3 的兩個(gè)向量相乘，將得到以下結(jié)果。

數(shù)學(xué)上，矩形復(fù)數(shù)的劃分有點(diǎn)難以執(zhí)行，因?yàn)樗枰褂梅帜腹曹椇瘮?shù)將等式的分母轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)。這被稱為“合理化”。然后，復(fù)數(shù)的劃分最好使用“Polar Form”進(jìn)行，我們將在后面介紹。但是，作為矩形形式的示例，我們可以找到vector A 的值除以vector B 。

復(fù)共軛

復(fù)共軛，或簡(jiǎn)單地共軛復(fù)數(shù)是通過反轉(zhuǎn)代數(shù)符號(hào)找到的復(fù)數(shù)虛數(shù)僅在保持實(shí)數(shù)的代數(shù)符號(hào)相同的同時(shí)識(shí)別 z的復(fù)共軛使用符號(hào) z 。例如， z = 6 + j4 的共軛是 z = 6-j4 ，同樣 z = 6-的共軛j4 是 z = 6 + j4 。

復(fù)共軛的Argand圖上的點(diǎn)在水平位置上具有相同的水平位置。實(shí)軸作為原始復(fù)數(shù)，但垂直位置相反。因此，復(fù)共軛可以被認(rèn)為是復(fù)數(shù)的反映。以下示例顯示復(fù)數(shù)， 6 + j4 及其在復(fù)平面中的共軛。

共軛復(fù)數(shù)

如上所述，復(fù)數(shù)與其復(fù)共軛的總和將始終為實(shí)數(shù)。然后，添加復(fù)數(shù)及其共軛僅將結(jié)果作為實(shí)數(shù)或有效分量，而它們的減法僅給出虛數(shù)或無功分量。復(fù)數(shù)的共軛是電氣工程中用于確定使用矩形形式的交流電路的視在功率的重要元素。

使用極坐標(biāo)形式的復(fù)數(shù)

與矩形形式不同在復(fù)平面中繪制點(diǎn)，復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)是根據(jù)其大小和角度編寫的。因此，極坐標(biāo)形式向量表示為： Z =A∠±θ，其中： Z 是極坐標(biāo)形式的復(fù)數(shù)， A 是矢量的大小或模數(shù)，θ是 A 的角度或參數(shù)，可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)。該點(diǎn)的大小和角度仍然與上面的矩形形式相同，這次以極坐標(biāo)形式表示點(diǎn)的位置以“三角形”表示，如下所示。

極性形式表示復(fù)數(shù)

由于點(diǎn)的極坐標(biāo)表示基于三角形，我們可以使用三角形的簡(jiǎn)單幾何，尤其是三角形和畢達(dá)哥拉斯在三角形上的定理，以找出復(fù)數(shù)的大小和角度。正如我們從學(xué)校記得的那樣，三角學(xué)處理邊的關(guān)系和三角形的角度，因此我們可以將邊之間的關(guān)系描述為：

再次使用三角法，給出 A 的角度θ如下。

然后以Polar形式顯示 A 的長(zhǎng)度及其角度表示復(fù)數(shù)而不是點(diǎn)。同樣以極性形式，復(fù)數(shù)的共軛具有相同的大小或模量，它是角度變化的符號(hào)，因此例如6∠30 o 將6∠-30 o 。

在矩形形式和極坐標(biāo)形式之間轉(zhuǎn)換

在矩形形式中，我們可以根據(jù)其直角坐標(biāo)表示矢量，水平軸是其實(shí)軸，垂直軸是其虛軸或j分量。在極坐標(biāo)形式中，這些實(shí)軸和虛軸簡(jiǎn)單地用“A∠θ”表示。然后使用上面的例子，矩形和極形之間的關(guān)系可以定義為。

將極性形式轉(zhuǎn)換為矩形，（P→R）

我們還可以將矩形轉(zhuǎn)換回極性形式，如下所示。

將矩形轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式，（R→P）

極地形式乘法和除法

矩形如上所述，形式最適合添加和減去復(fù)數(shù)，但極性形式通常更適合乘法和除法。為了將極坐標(biāo)形式的兩個(gè)向量相乘，我們必須首先將兩個(gè)模數(shù)或大小相乘，然后將它們的角度加在一起。

極坐標(biāo)中的乘法

將6∠30 o 和8∠-45 o相乘 給我們。

極地分裂

同樣，分開兩個(gè)極性形式的矢量，我們必須將兩個(gè)模數(shù)分開然后減去它們的角度，如圖所示。

幸運(yùn)的是，今天的現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算器內(nèi)置了數(shù)學(xué)函數(shù)（檢查你的書），允許輕松轉(zhuǎn)換矩形到極性形式（ R→P ），然后從極性變?yōu)榫匦危?R→P ）。

使用指數(shù)形式的復(fù)數(shù)

到目前為止，我們已經(jīng)考慮了矩形形式中的復(fù)數(shù)，（ a + jb ）和極地形式，（A∠±θ）。但是還有第三種表示復(fù)數(shù)的方法，該方法類似于對(duì)應(yīng)于正弦曲線的長(zhǎng)度（幅度）和相位角的極坐標(biāo)形式，但使用自然對(duì)數(shù)的基數(shù)， e =2.718 281 .. 找到復(fù)數(shù)的值。第三種方法稱為指數(shù)形式。

指數(shù)形式使用正弦的三角函數(shù)（ sin ）和直角三角形的余弦（ cos ）值，將復(fù)指數(shù)定義為復(fù)平面中的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)。尋找點(diǎn)位置的指數(shù)形式基于Euler's Identity，以瑞士數(shù)學(xué)家Leonhard Euler命名，并給出：

然后歐拉的身份可以用復(fù)平面上的以下旋轉(zhuǎn)相量圖表示。

我們可以看到Euler的身份與上面的極性形式非常相似，并且它向我們顯示了一個(gè)數(shù)字，例如 A e jθ 幅度為1的>也是一個(gè)復(fù)數(shù)。我們不僅可以將指數(shù)形式的復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換為極性形式，例如： 2 e j30 =2∠30， 10 j120 =10∠120或 -6 j90 = - 6∠90，但歐拉的身份也為我們提供了一種將復(fù)數(shù)從指數(shù)形式轉(zhuǎn)換為矩形形式的方法。然后，在定義復(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)，極坐標(biāo)和矩形之間的關(guān)系給出為。

復(fù)數(shù)形式

相量符號(hào)

到目前為止，我們已經(jīng)看到了表示旋轉(zhuǎn)的不同方式矢量或固定矢量使用復(fù)數(shù)來定義復(fù)雜平面上的點(diǎn)。相量符號(hào)是構(gòu)造具有給定正弦波形的幅度和相位角的單個(gè)復(fù)數(shù)的過程。

然后相量符號(hào)或相量變換，因?yàn)樗袝r(shí)被稱為，傳遞真實(shí)部分正弦函數(shù)： A （t） = A m cos（ωt±Φ）從時(shí)域到復(fù)數(shù)域，也被稱為頻域。例如：

請(qǐng)注意√ 2 將最大振幅轉(zhuǎn)換為a <有效或RMS值，相位角以弧度表示，（ω）。

復(fù)數(shù)匯總

然后總結(jié)本教程關(guān)于復(fù)雜數(shù)字以及在電氣工程中使用復(fù)數(shù)。

復(fù)數(shù)由兩個(gè)不同的數(shù)字組成，一個(gè)實(shí)數(shù)加上一個(gè)虛數(shù)。

虛數(shù)通過使用j與實(shí)數(shù)區(qū)分開來-operator。

前面帶有字母“ j ”的數(shù)字將其標(biāo)識(shí)為復(fù)合體中的虛數(shù)平面。

根據(jù)定義，j-operator j≡√ -1

可以添加，減去，乘以虛數(shù)

“ j ”乘以“ j “給出 j 2 = - 1

在矩形表格中，復(fù)數(shù)表示為復(fù)雜平面上的空間點(diǎn)。

在Polar Form中，復(fù)數(shù)由一條線表示，其長(zhǎng)度為幅度和相位角。 / li>

在指數(shù)形式中，復(fù)數(shù)由一條線和相應(yīng)的角度表示，該角度使用自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

復(fù)數(shù)可以用以下三種方式之一表示：

Z = x + jy ?矩形表格

Z =A∠Φ?極地形式

Z = A jΦ ?指數(shù)形式

Euler的身份可用于轉(zhuǎn)換復(fù)雜從指數(shù)形式到矩形的數(shù)字。

在前面的教程中，我們已經(jīng)看到我們可以使用相量來表示正弦波形，并且它們的幅度和相位角可以寫在形式復(fù)雜的數(shù)字。我們還看到復(fù)數(shù)可以以矩形，極坐標(biāo)或指數(shù)形式呈現(xiàn)，每個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式之間的轉(zhuǎn)換包括加法，減法，乘法和除法。

在接下來的幾個(gè)與AC串聯(lián)電路中的相量關(guān)系相關(guān)的教程中，我們將研究一些常見無源電路元件的阻抗，并繪制流過元件的電流和施加在其上的電壓的相量圖。交流阻力。