如果要比較精確地計算和繪制極坐標圖，一般來說是比較麻煩的，為此可用頻率特性的另一種圖示法：對數坐標圖。對數坐標圖法不但計算簡單，繪圖容易，而且能直觀地表現開環增益、時間常數等參數變化對系統性能的影響。

一般對數坐標圖由兩部分組成：一張是對數幅頻特性圖，它的縱坐標為 ，單位是分貝，用符號dB表示。通常為了書寫方便，把 用符號 表示。另一張是相頻圖。兩張圖的縱坐標都是按線性分度，單位分別為dB和 ，橫坐標是角頻率 。

為了更好地體現開環系統各頻段的特性，可對橫坐標采用 的對數坐標分度，從而形成了半對數坐標系。這對于擴展頻率特性的低頻段，壓縮高頻段十分有效。在以 分度的橫坐標上，1到10的距離等于10到100的距離，這個距離表示十倍頻程，用符號dec表示。對數幅頻特性的“斜率”一般用分貝/十倍頻（dB/dec）表示。對數坐標圖又稱伯德圖(Bode圖)。

用伯德圖表示的頻率特性有如下的優點：

1)把幅頻特性的乘除運算轉變為加減運算。

2)在對系統作近似分析時，一般只需要畫出對數幅頻特性曲線的漸近線，從而大大簡化了圖形的繪制。

3)用實驗方法，將測得系統（或環節）頻率響應的數據畫在半對數坐標紙上。根據所作出的曲線，容易估計被測系統（或環節）的傳遞函數。

在Matlab控制工具箱中，亦有專門的函數用于繪制Bode圖：Bode函數。同時為繪制開環系統的幅頻特性的漸近線，我們編制了畫漸近線的作圖函數：Bode_asymp。有關它們的使用方法將結合例題進行說明。

5.3.1 典型環節的伯德圖

1．比例環節

比例環節K的對數幅頻特性是一高度為 dB的水平線，它的相角為零度，如圖5－18所示。改變開環頻率特性表達式中K的大小，會使對數幅頻特性升高或降低一個常量，但不影響相角的大小。

顯然，當 時， 位于橫軸上方；當 時， 位于橫軸上；當 時， 位位于橫軸下方。

2．一階環節

一階環節 的對數幅頻和相頻表達式分別為

當 時，略去式（5－38）中的1，則得 ，表示 高頻部分的漸近線是一條斜率為－20dB/dec的直線，當輸入信號的頻率每增加十倍頻程時，對應輸出信號的幅值便下降20dB。圖5－19所示的是精確對數幅頻特性及其漸近線和精確的相頻曲線，其中T＝1，Matlab命令如下：

G=tf(1,[1,1]);

[x0,y0,w]=bode(g),[x,y]=bode_asymp(g,w);

subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)

subplot(212),semilogx(w,y0(:))

不難看出，兩條漸近線相交點的頻率 ，這個頻率稱為轉折頻率，又名轉角頻率。如果 環節的對數幅頻特性能用其兩條漸近線似表示，則使作圖大為簡化。問題是，這種近似表示所產生的誤差有多大？

由圖5－19可見，最大的幅值誤差產生在轉折頻率 處，它近似等于－3dB－22a和5 －22b。如果傳遞函數中含有 個積分環節，即 ，則它的對數幅頻和相頻表達式可分別寫成

(5-42)

式（5－41）所示的是一簇斜率為 的直線，且在 處， ，如圖5－23所示。由式（5－41）求得，這些不同斜率的直線通過0dB－44）中的1和 項，則得

上式表示 的高頻漸近線為一斜率 的直線。不難看出，兩條漸近線相交于 。 稱為振蕩環節的轉折頻率。基于實際的對數幅頻特性既與頻率 和 有關，又與阻尼比 有關，因而這種環節的對數幅頻特性曲線一般不能用其漸近線近似表示，不然會引起較大的誤差。圖5－25所示。由圖可見， 值越小，對數幅頻曲線的峰值就越大，它與漸近線之間的誤差也就越大。

將式（5－43）的幅值表達式寫為

(5-45)

令

(5-46)

顯然，如在某一頻率時， 有最小值，則 便有最大值。把式（5－46）改寫為

(5-47)

下面針對不同的 值范圍，討論在什么條件下，式（5－44）會有峰值出現，這個峰值和相應的頻率應如何計算。

（1） 時

從式（5－47）中看出，當 時， 有最小值，即 有最大值，這個最大值稱為諧振峰值，用 表示之。基于 值為 ，由式（5－26所示。產生諧振峰值時的頻率叫諧振頻率，用 表示，它的值為　

?

由上式可見，當 趨于零時， 就趨向于 。當 時， 總小于有阻尼自然頻率 。

（2） 時

此時可將式（5－46）改寫為

(5-49)

不難看出，由于 隨著 的增大而增大，因而 隨著 的增大而單調地減小。這意味著，當 時，幅值曲線不可能有峰值出現，即不會產生諧振。當 時， 有最小值，其值為期1