“時間常數(shù)”哪學(xué)來的？

“電路”/“信號與系統(tǒng)”/“自動控制原理”，多次揭示一階系統(tǒng)的運行規(guī)律，其中τ(tao)就是時間常數(shù)time constant。電路中，RC串聯(lián)的零狀態(tài)響應(yīng)是典型的一階電路，τ=RC。

若u(t)為單位階躍輸入，輸出y(t)經(jīng)過3-5個τ的滯后才可近似認為進入了穩(wěn)態(tài)，達到靜態(tài)增益k。

簡言之，“時間常數(shù)”只針對一階系統(tǒng)，廣義上的時間常數(shù)或可針對主導(dǎo)極點為一階形式的，類一階的高階系統(tǒng)。直觀地說，它代表了系統(tǒng)對抗外界變化，保持原狀的抵抗能力（慣性）。

那么，從穩(wěn)態(tài)來看，只要我身為舔狗等女神足夠久，一階環(huán)節(jié)的時間常數(shù)并不會對直流輸入產(chǎn)生影響。

直流書上都有，交流呢？

實際工程的采樣環(huán)節(jié)中，除了直流信號，我們常遇到交流信號（或含交流信號）的調(diào)理與高頻噪聲濾除，最簡單且典型的，即采用一階濾波電路實現(xiàn)。

濾掉高頻噪聲很簡單，但我們也應(yīng)該關(guān)心，經(jīng)過時間常數(shù)τ的一階濾波，正弦輸入基波的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，有沒有可能被濾過頭？

從用戶友好+小白實用的角度出發(fā)，必然是直接從時域得到結(jié)論。

已知輸入波形周期100us，一階濾波器的時間常數(shù)取多少us才可以不失真（幅度，相位）？

系統(tǒng)穩(wěn)定后，輸入輸出兩個正弦的基波，在時域上有多少延遲？

不必每次都理論計算/仿真，而能秒答這兩個問題，加速調(diào)試和設(shè)計過程，是本文撰寫的初衷。

怎么分析？

為了盡可能量化，聯(lián)系理論工具：正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)→波特圖。

一階系統(tǒng)波特圖和漸近線如下，轉(zhuǎn)折頻率為藍色線fc，輸入的ac信號基波頻率為綠色線fac。

由圖可知，為了幾乎不產(chǎn)生衰減和相移的失真，放在轉(zhuǎn)折頻率1/10以下，fac

我們就把fac放在fc/10的地方，為了找出時間常數(shù)和交流信號，在時域的直接關(guān)系，列表如下：

結(jié)論：頻域幅度和相位的不失真，即時域上幅度縮小和時間延遲近似忽略的情況下，在時域上需求的倍數(shù)關(guān)系高達62.8，也就是說，針對100us周期的輸入信號，濾波器時間常數(shù)不要超過1.6us。

那么，為了研究時域延遲，如果讓輸入信號頻率fac在fc之下自由移動，（上圖中橙色區(qū)域），即周期低于20pi*τ，相移會有負的0°-45°之多，對應(yīng)的時域呢？

一階系統(tǒng)相位表達式如下，橙色區(qū)域恰對應(yīng)自變量2pi*f*τ的范圍在[0，1]。

百度一下，白嫖個函數(shù)圖像：

為了避免用大一高等數(shù)學(xué)的泰勒展開和各階近似把人繞暈，直接由圖可知：

x→0（無窮小），有y=-x成立；x=1時，y=-x*pi/4。

如果你愿意，可以把這段區(qū)域用y=-x和y=-x*pi/4包起來。

因此，知道了相角，由高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識，顯然可以得到對應(yīng)的時間：

結(jié)論：近似的，通過時間常數(shù)為τ的一階系統(tǒng)，若輸入的交流信號頻率處于相對中低頻（低于轉(zhuǎn)折頻率fc），輸出產(chǎn)生的延遲約在0.785τ~τ之間。

總結(jié)下

這就是大家的直覺印象，交流信號通過時間常數(shù)τ的濾波器，會產(chǎn)生大約τ的時域延遲的由來。

但要注意，該結(jié)論的近似條件，只到轉(zhuǎn)折頻率fc，也就是低頻才可等效。

某種程度上，這也直接從時域等效的角度，解釋了耳熟能詳?shù)模涸谙鄬Φ皖l段，τ的純延遲環(huán)節(jié)可以和時間常數(shù)τ的一階慣性環(huán)節(jié)，相互近似等效。

如果從頻域的角度，畫出延遲環(huán)節(jié)（含e的超越函數(shù)）的波特圖曲線，可以發(fā)現(xiàn)在低頻段，其相角和一階系統(tǒng)差異很小。

究其數(shù)學(xué)根本，就是高數(shù)的泰勒展開近似。感興趣的同學(xué)可以自行查閱陳伯時老師的“電力拖動自動控制系統(tǒng)”課本，附錄中針對該近似的推導(dǎo)。

審核編輯 ：李倩

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