一、前言

1、描述兩個(gè)坐標(biāo)系的變換關(guān)系需要6個(gè)參數(shù)(3個(gè)表示位置變換，3個(gè)表示姿態(tài)變換),為什么DH參數(shù)只需4個(gè)？

空間任意兩個(gè)坐標(biāo)系的變換關(guān)系確實(shí)需要6個(gè)參數(shù)來(lái)表示，然而，在建立各個(gè)連桿的坐標(biāo)系時(shí)，我們可以擬定一些規(guī)則，使得坐標(biāo)系滿足某些約束，從而只需4個(gè)參數(shù)則可以表示兩個(gè)坐標(biāo)系的變換關(guān)系。

若坐標(biāo)軸x i 與坐標(biāo)軸z i ? 1 垂直相交(示例如下圖)，則只需4個(gè)參數(shù)(桿件長(zhǎng)度a i 桿件扭角α i關(guān)節(jié)距離d i 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ i 就可以表示兩個(gè)坐標(biāo)系的變換關(guān)系。

下面的證明來(lái)于書(shū)籍：Robot Modeling and Control(First Edition),by Mark W. Spong, Seth Hutchinson, and M. Vidyasagar.

若坐標(biāo)系{ x 1 y 1 z 1 }與坐標(biāo)系{ x 0 y 0 z 0 }垂直相交，則坐標(biāo)系{ x 1 y 1 z 1 } 到坐標(biāo)系{ x 0 y 0 z 0 }的齊次變換矩陣為：

?

綜上，坐標(biāo)系{ x 1 y 1 z 1 } 到坐標(biāo)系{ x 0 y 0 z 0 } 的齊次變換關(guān)系用桿件長(zhǎng)度a ，桿件扭角α ，關(guān)節(jié)距離d ，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ這4個(gè)參數(shù)就夠了。

2、利用DH參數(shù)建模時(shí)，各個(gè)連桿坐標(biāo)系的建立是唯一的嗎？

利用DH參數(shù)建模時(shí)，各個(gè)連桿坐標(biāo)系的建立不是唯一的。只要在建立坐標(biāo)系時(shí)，坐標(biāo)軸x i與坐標(biāo)軸z i -1垂直相交即可。

3、DH參數(shù)表是唯一的嗎？

DH參數(shù)表不是唯一的。因?yàn)楦鱾€(gè)連桿坐標(biāo)系的建立不是唯一的，導(dǎo)致DH參數(shù)不同，但是最終計(jì)算得到末端工具坐標(biāo)系到機(jī)器人基坐標(biāo)系下的齊次變換矩陣是唯一的。(前提是機(jī)器人基坐標(biāo)系與末端工具坐標(biāo)系的建立保持不變)

4、標(biāo)準(zhǔn)DH參數(shù)與修正DH參數(shù)有何異同？

祥見(jiàn)參考資料2,3。

(1)標(biāo)準(zhǔn)DH參數(shù)坐標(biāo)系建立在傳動(dòng)軸上，而修正DH參數(shù)坐標(biāo)系建立在驅(qū)動(dòng)軸上

(2)由于坐標(biāo)系建立位置發(fā)生了變化，連桿之間的坐標(biāo)系變換關(guān)系自然也發(fā)生變化。

標(biāo)準(zhǔn)DH相鄰連桿之間坐標(biāo)系的變換關(guān)系為：

修正DH相鄰連桿之間坐標(biāo)系的變換關(guān)系為：

(3)修正DH參數(shù)中各個(gè)參數(shù)的物理意義與標(biāo)準(zhǔn)DH參數(shù)是一樣的。

(4)對(duì)于傳統(tǒng)的串聯(lián)機(jī)器人而言，兩者的表現(xiàn)能力是一樣的，沒(méi)有優(yōu)劣之分，我們可以選擇其中一種方法進(jìn)行建模。然而，由于修正DH參數(shù)坐標(biāo)系建立在驅(qū)動(dòng)軸上，對(duì)于樹(shù)狀結(jié)構(gòu)的機(jī)器人，其表現(xiàn)能力更強(qiáng)，可以簡(jiǎn)化問(wèn)題。

(5)對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)DH參數(shù)，根據(jù)DH參數(shù)表，并對(duì)式(9) 連乘得到的是末端工具坐標(biāo)系到機(jī)器人基坐標(biāo)系的齊次變換矩陣；對(duì)于修正DH參數(shù)，根據(jù)DH參數(shù)表，并對(duì)式(10) 連乘得到的是最后一個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)上的坐標(biāo)系到機(jī)器人基坐標(biāo)系的齊次變換矩陣，變換到末端工具坐標(biāo)系還需增加一個(gè)變換(通常為平移變換)。

二、標(biāo)準(zhǔn)DH參數(shù)

1、DH四個(gè)參數(shù)的定義

(1)d i ：坐標(biāo)軸x i -1與坐標(biāo)軸x i 沿著坐標(biāo)軸z i ? 1 的有向距離。

(2)a i ：坐標(biāo)軸z i ? 1與坐標(biāo)軸z i 沿著坐標(biāo)軸x i ?的有向距離。

(3)α i ：坐標(biāo)軸z i ? 1 與坐標(biāo)軸z i 的夾角，方向定義如下：

(4) θ i：坐標(biāo)軸x i ? 1 與坐標(biāo)軸x i 的夾角，方向定義如下：

2、DH連桿坐標(biāo)系的約定

(1)坐標(biāo)軸x i 與坐標(biāo)軸z i ? 1垂直。

(2)坐標(biāo)軸x i 與坐標(biāo)軸z i ? 1 相交。

3、根據(jù)DH連桿坐標(biāo)系約定，建立各個(gè)連桿坐標(biāo)系

4、根據(jù)DH四個(gè)參數(shù)的定義，創(chuàng)建DH參數(shù)表

三、六軸機(jī)器人實(shí)例(standard DH)

這里以六軸機(jī)器人為例，通過(guò)建立3種不同的連桿坐標(biāo)系，創(chuàng)建對(duì)應(yīng)的DH表，比較最終運(yùn)動(dòng)學(xué)正解最終結(jié)果是否一致。

其中，d 1 = 0.3991 ， a 2 = 0.448 ， a 3 = 0.042 ， d 4 = 0.451 ， d 6 = 0.082以米為單位。兩種不同的連桿坐標(biāo)系的建立方法得到不同的DH參數(shù)表，但最終的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解完全一樣！

1、第一種連桿坐標(biāo)系建立方法

連桿坐標(biāo)系建立如下：

DH參數(shù)表如下：

2、第二種連桿坐標(biāo)系建立方法

連桿坐標(biāo)系建立如下：

DH參數(shù)表如下：

四、MATLAB代碼

?

?

clc;
clear;


syms d1 d2 d3 d4 d5 d6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 real
syms alpha1 alpha2 alpha3 alpha4 alpha5 alpha6 real
syms theta1 theta2 theta3 theta4 theta5 theta6 real;


%% (1)
a1 = sym(0);
alpha1 = sym(-pi/2);
A1 = simplify([cos(theta1), -sin(theta1)*cos(alpha1), sin(theta1)*sin(alpha1), a1*cos(theta1)
 ? ?sin(theta1), cos(theta1)*cos(alpha1), -cos(theta1)*sin(alpha1), a1*sin(theta1)
 ? ?0, sin(alpha1), cos(alpha1), d1
 ? ?0, 0, 0, 1]);


d2 = sym(0);
alpha2 = sym(0);
A2 = simplify([cos(theta2 - pi/2), -sin(theta2 - pi/2)*cos(alpha2), sin(theta2 - pi/2)*sin(alpha2), a2*cos(theta2 - pi/2)
 ? ?sin(theta2 - pi/2), cos(theta2 - pi/2)*cos(alpha2), -cos(theta2 - pi/2)*sin(alpha2), a2*sin(theta2 - pi/2)
 ? ?0, sin(alpha2), cos(alpha2), d2
 ? ?0, 0, 0, 1]);


d3 = sym(0);
alpha3 = sym(-pi/2);
A3 = simplify([cos(theta3), -sin(theta3)*cos(alpha3), sin(theta3)*sin(alpha3), a3*cos(theta3)
 ? ?sin(theta3), cos(theta3)*cos(alpha3), -cos(theta3)*sin(alpha3), a3*sin(theta3)
 ? ?0, sin(alpha3), cos(alpha3), d3
 ? ?0, 0, 0, 1]);


a4 = sym(0);
alpha4 = sym(pi/2);
A4 = simplify([cos(theta4), -sin(theta4)*cos(alpha4), sin(theta4)*sin(alpha4), a4*cos(theta4)
 ? ?sin(theta4), cos(theta4)*cos(alpha4), -cos(theta4)*sin(alpha4), a4*sin(theta4)
 ? ?0, sin(alpha4), cos(alpha4), d4
 ? ?0, 0, 0, 1]);


a5 = sym(0);
d5 = sym(0);
alpha5 = sym(-pi/2);
A5 = simplify([cos(theta5), -sin(theta5)*cos(alpha5), sin(theta5)*sin(alpha5), a5*cos(theta5)
 ? ?sin(theta5), cos(theta5)*cos(alpha5), -cos(theta5)*sin(alpha5), a5*sin(theta5)
 ? ?0, sin(alpha5), cos(alpha5), d5
 ? ?0, 0, 0, 1]);


a6 = sym(0);
alpha6 = sym(0);
A6 = simplify([cos(theta6+pi), -sin(theta6+pi)*cos(alpha6), sin(theta6+pi)*sin(alpha6), a6*cos(theta6+pi)
 ? ?sin(theta6+pi), cos(theta6+pi)*cos(alpha6), -cos(theta6+pi)*sin(alpha6), a6*sin(theta6+pi)
 ? ?0, sin(alpha6), cos(alpha6), d6
 ? ?0, 0, 0, 1]);


T1 = simplify(A1*A2*A3*A4*A5*A6);


%% (2)
a1 = sym(0);
alpha1 = sym(-pi/2);
A1 = simplify([cos(theta1), -sin(theta1)*cos(alpha1), sin(theta1)*sin(alpha1), a1*cos(theta1)
 ? ?sin(theta1), cos(theta1)*cos(alpha1), -cos(theta1)*sin(alpha1), a1*sin(theta1)
 ? ?0, sin(alpha1), cos(alpha1), d1
 ? ?0, 0, 0, 1]);


d2 = sym(0);
alpha2 = sym(0);
A2 = simplify([cos(theta2 + pi/2), -sin(theta2 + pi/2)*cos(alpha2), sin(theta2 + pi/2)*sin(alpha2), (-a2)*cos(theta2 + pi/2)
 ? ?sin(theta2 + pi/2), cos(theta2 + pi/2)*cos(alpha2), -cos(theta2 + pi/2)*sin(alpha2), (-a2)*sin(theta2 + pi/2)
 ? ?0, sin(alpha2), cos(alpha2), d2
 ? ?0, 0, 0, 1]);


d3 = sym(0);
alpha3 = sym(pi/2);
A3 = simplify([cos(theta3), -sin(theta3)*cos(alpha3), sin(theta3)*sin(alpha3), (-a3)*cos(theta3)
 ? ?sin(theta3), cos(theta3)*cos(alpha3), -cos(theta3)*sin(alpha3), (-a3)*sin(theta3)
 ? ?0, sin(alpha3), cos(alpha3), d3
 ? ?0, 0, 0, 1]);


a4 = sym(0);
alpha4 = sym(-pi/2);
A4 = simplify([cos(theta4), -sin(theta4)*cos(alpha4), sin(theta4)*sin(alpha4), a4*cos(theta4)
 ? ?sin(theta4), cos(theta4)*cos(alpha4), -cos(theta4)*sin(alpha4), a4*sin(theta4)
 ? ?0, sin(alpha4), cos(alpha4), d4
 ? ?0, 0, 0, 1]);


a5 = sym(0);
d5 = sym(0);
alpha5 = sym(pi/2);
A5 = simplify([cos(theta5), -sin(theta5)*cos(alpha5), sin(theta5)*sin(alpha5), a5*cos(theta5)
 ? ?sin(theta5), cos(theta5)*cos(alpha5), -cos(theta5)*sin(alpha5), a5*sin(theta5)
 ? ?0, sin(alpha5), cos(alpha5), d5
 ? ?0, 0, 0, 1]);


a6 = sym(0);
alpha6 = sym(0);
A6 = simplify([cos(theta6), -sin(theta6)*cos(alpha6), sin(theta6)*sin(alpha6), a6*cos(theta6)
 ? ?sin(theta6), cos(theta6)*cos(alpha6), -cos(theta6)*sin(alpha6), a6*sin(theta6)
 ? ?0, sin(alpha6), cos(alpha6), d6
 ? ?0, 0, 0, 1]);
 ? ?
T2 = simplify(A1*A2*A3*A4*A5*A6);
err = simplify(T1 - T2)

?

?

五、參考資料

1.Robot Modeling and Control(First Edition),by Mark W. Spong, Seth Hutchinson, and M. Vidyasagar

2.https://blog.csdn.net/hitgavin/article/details/105018983

3.https://blog.csdn.net/jldemanman/article/details/80508683

編輯：黃飛

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