導讀：蒙特卡羅方法MCM（Monte Carlo Method），也稱隨機抽樣或統計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由于科學技術的發展和電子計算機的發明，而被提出的一種以概率統計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法。

提到蒙特卡羅(也有翻譯成“蒙特卡洛”)一詞，人們不禁想到摩納哥的賭城。這兩者之間有必然聯系么？答案是：Exactly！

大家想想，賭博跟什么有關？首先想到的是隨機性和概率性。對，那蒙特卡羅方法就是與概率論和數理統計有關。

MCM提出：

蒙特卡羅方法MCM于20世紀40年代美國在第二次世界大戰中研制原子彈的“曼哈頓計劃”計劃的成員S.M.烏拉姆和J.馮·諾伊曼(計算機之父)首先提出。數學家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。在這之前，蒙特卡羅方法就已經存在。1777年，法國數學家布豐（Georges Louis Leclere de Buffon）提出用投針實驗的方法求圓周率π。這被認為是蒙特卡羅方法的起源。

傳統的經驗方法由于不能逼近真實的物理過程，很難得到滿意的結果，而蒙特卡羅方法MCM由于能夠真實地模擬實際物理過程，故解決問題與實際非常符合，可以得到很圓滿的結果。這也是以概率論和數理統計理論方法為基礎的一種計算方法，是使用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。將所求解的問題同一定的概率模型相聯系，用電子計算機實現統計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。為象征性地表明這一方法的概率統計特征，故借用賭城-蒙特卡羅命名。該命名既反映了該方法的部分內涵，又便于記憶，因此得到人們的普遍接受。

BTW：MonteCarlo一詞來源于意大利語，是為了紀念王子摩納哥查理三世。蒙特卡羅（MonteCarlo）雖然是個賭城，但很小，估計跟北京的一條街差不多大。

MCM概述：

蒙特卡羅方法MCM（Monte Carlo Method），也稱隨機抽樣或統計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由于科學技術的發展和電子計算機的發明，而被提出的一種以概率統計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法。是指使用隨機數（或偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。與它對應的是確定性算法。蒙特卡羅方法在金融工程學，宏觀經濟學，計算物理學（如粒子輸運計算、量子熱力學計算、空氣動力學計算）以及人工智能之機器學習等領域應用廣泛。

MCM基本思想:

當所求解問題是某種隨機事件出現的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，通過某種“實驗”的方法，以這種事件出現的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數字特征，并將其作為問題的解。

有一類問題的維數（變量個數）可能高達數百甚至數千，解題難度隨維數的增加呈指數增長，這就是所謂的維數的災難(Curse of Dimensionality)。即使使用速度最快的計算機，傳統的數值計算方法也難以對付，但蒙特卡羅方法MCM的計算復雜性不再依賴于維數，MCM能很好地用來對付維數的災難。為提高方法的效率，科學家們提出了許多所謂的“方差縮減”技巧。

另一類形式與蒙特卡羅方法MCM相似，但理論基礎不同的方法—“擬蒙特卡羅方法”(Quasi-Monte Carlo方法)—近年來也獲得迅速發展。我國數學家華羅庚、王元提出的“華—王”方法即是其中的一例。這種方法的基本思想是“用確定性的超均勻分布序列(Low DiscrepancySequences)代替蒙特卡羅方法MCM中的隨機數序列。該方法對某些問題的求解比蒙特卡羅方法MCM計算速度上提高數百倍，計算精度上也有很大提高。

MCM基本原理