1 引言

倒立擺是研究控制理論的典型實驗平臺。由于倒立擺系統本身所具有的高階次、不穩定、多變量、非線性和強耦合特性，許多現代控制理論的研究人員一直將它視為典型的研究對象，不斷從中發掘出新的控制策略和控制方法。控制器的設計是倒立擺系統的核心內容，因為倒立擺是一個絕對不穩定的系統，為使其保持穩定，并且可以承受一定的干擾，采用極點配置法設計用于直線型一級倒立擺系統的控制器。

2 數學模型的建立

因為倒立擺系統本身是一個自不穩定的系統，因此實驗建模存在一定的困難。然而，經過謹慎的假設，忽略掉一些次要因素，就能使倒立擺系統成為一個典型的運動的剛體系統，使之在慣性坐標系內應用經典力學理論就能建立系統的動力學方程。下面采用牛頓一歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統的數學模型。

2．1 微分方程的推導

在忽略空氣阻力和各種摩擦后，可將直線一級倒立擺系統抽象成小車和勻質桿組成的系統，如圖l所示。

假設M為小車質量；m為擺桿質量；b為小車摩擦系數；

l為擺桿轉動軸心到桿質心的長度；I為擺桿慣量：F為加在小車上的力；x為小車位置；φ為擺桿與垂直向上方向的夾角；

θ擺桿與垂直向下方向的夾角圖2示出系統中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向分量腳。值得注意的是：在實際倒立擺系統中檢測和執行裝置的正負方向已確定，因而矢量方向定義如圖2所示，圖示方向為矢量正方向。

分析小車水平方向所受的合力，可得方程為：

MX=F—bi—N

由擺桿水平方向的受力進行分析，可得：

2．2 狀態空間方程

由方程組（8）對x，φ解代數方程，整理后得：

3、 狀態空間極點配置

4 、仿真驗證

建立直線一級倒立擺的仿真模型如圖3所示?！癎LlIPState—Space”為直線一級倒立擺的狀態空間模型。雙擊圖3中的“Poles Control”模塊，打開圖4中的設置窗口。

把計算得到的K值輸入到上面的窗口。可得圖4所示的仿真運行結果。

由圖5可見，在存在干擾的情況下，系統在3 s內基本上可以恢復到新的平衡位置。

5、 實時控制

將仿真得到的K參數輸入到實際系統的控制模塊中，可得圖6所示實時控制曲線。在給定倒立擺干擾后，系統響應圖7所示。

6、 結語

采用極點配置法設計的用于直線型一級倒立擺系統的控制器，可使系統在很小的振動范圍內保持平衡，小車振動幅值約為4×10-3m，擺桿振動幅值約0．05 rad，系統穩定時間約3 s。

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