眾所周知，作為溫度函數(shù)的傳統(tǒng)半導(dǎo)體（Si、Ge 等）的帶隙εg遵循以下定律：

其中T 0 = 300 K，a 》 0 是一個(gè)系數(shù)，其值使得ε g 的變化對(duì)于設(shè)備的適當(dāng)工作范圍可以忽略不計(jì)。

在這項(xiàng)研究中，我們將解釋在一定溫度范圍內(nèi)對(duì)碳化硅樣品進(jìn)行的本征電導(dǎo)率測(cè)量

表明對(duì)于這個(gè)范圍（比傳統(tǒng)半導(dǎo)體寬得多），帶隙實(shí)際上是恒定的。這種情況對(duì)于器件的熱穩(wěn)定性至關(guān)重要。

實(shí)驗(yàn)室經(jīng)驗(yàn)

在我們的研究中，實(shí)驗(yàn)室經(jīng)驗(yàn)包括測(cè)量電導(dǎo)率作為數(shù)量的函數(shù)：

進(jìn)行測(cè)量的半導(dǎo)體樣品可以是本征的和外征的（即摻雜的）。在后一種情況下，需要參考本征電導(dǎo)率占主導(dǎo)地位的溫度范圍，因此從現(xiàn)在開始，我們將采用符號(hào)σ intr 來(lái)表示電導(dǎo)率。

在室溫下，它是

進(jìn)行測(cè)量以將溫度升高到最大值

對(duì)應(yīng)于大約 300 ? C。因此，變量β 的范圍為

然后，我們?cè)趯?duì)數(shù)尺度上報(bào)告σ intr 作為β的函數(shù)，獲得線性下降趨勢(shì)。所以我們會(huì)寫：

式中，α 》 0 為排列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的直線原點(diǎn)的縱坐標(biāo)，χ 》 0 為角度系數(shù)的絕對(duì)值，如圖 1 所示。

從公式 7 可以得出：

其中A = e α 是具有電導(dǎo)率維度的正常數(shù)，而χ具有能量維度，因?yàn)橹笖?shù)參數(shù)是無(wú)量綱的。在這個(gè)指數(shù)中，我們認(rèn)識(shí)了同名統(tǒng)計(jì)量的玻爾茲曼因子。

圖 1：電導(dǎo)率測(cè)量趨勢(shì)。在橫坐標(biāo)上，數(shù)量β = （ k T -1

數(shù)據(jù)圍繞通過(guò)插值獲得的直線分布。在室溫下，它是σ intr （ β 0 ） = 2 。02 米/米。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)解讀

在任何理論模型中，半導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ很容易從 Drude 模型的擴(kuò)展中獲得，眾所周知，該模型調(diào)節(jié)金屬中的電子電導(dǎo)率（然而，沒有考慮量子效應(yīng)）。更準(zhǔn)確地說(shuō)，在半導(dǎo)體的情況下，得到

其中 e = 1 。602·10 -19 C是電子電荷的絕對(duì)值；n、p分別為導(dǎo)帶電子數(shù)密度和價(jià)帶空穴數(shù)密度；μ e 、μ h分別是電子和空穴的遷移率（每單位電場(chǎng)的漂移速度）。對(duì)于室溫下的 SiC：

這些量與帶隙寬度成反比；這是一個(gè)物理上顯而易見的結(jié)果 ［1］。

考慮到電子和空穴的微觀動(dòng)力學(xué)［2］，我們可以寫：

帶星號(hào)的數(shù)量分別是電子和空穴的有效質(zhì)量。我們很快回憶起，這些值測(cè)量的是自由粒子在位于 SiC（或任何其他固體、導(dǎo)體/半導(dǎo)體）晶格位置的正離子施加的勢(shì)能（周期性）能量后與慣性質(zhì)量的偏差。 。 簡(jiǎn)而言之，質(zhì)量為m的粒子在空間坐標(biāo)中的周期性勢(shì)能場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)等價(jià)于不受力但有效質(zhì)量為m ?的粒子的運(yùn)動(dòng)。剩余量τ e ， τ h 是特征時(shí)間間隔（弛豫時(shí)間），其倒數(shù)是電子-離子（或空穴-離子）碰撞的平均頻率。現(xiàn)在我們需要確定電子和空穴的濃度，即數(shù)量n，p。作為費(fèi)米子，我們有單個(gè)粒子的能級(jí)是根據(jù)費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)來(lái)填充的：

其中μ （ T ） 是費(fèi)米子的化學(xué)勢(shì)。準(zhǔn)確地說(shuō)，當(dāng)ε ≥ ε C和ε ≤ ε V時(shí)，單個(gè)粒子的能級(jí)連續(xù)分布1，即ε C和ε V分別是導(dǎo)帶的最小能量和價(jià)帶的最大能量。形式上，我們可以考慮能級(jí)的連續(xù)分布：

如圖 2 所示。

圖 2：半導(dǎo)體的價(jià)帶和導(dǎo)帶示意圖，由禁帶隔開

它遵循電子

函數(shù)g C （ ε ） 是狀態(tài)的密度，即g C （ ε ） dε是之間的能量狀態(tài)數(shù)

ε和ε + dε是量子典型能級(jí)退化的連續(xù)模擬

系統(tǒng)。從［1］：

所以

同樣對(duì)于孔

根據(jù)洞的定義：

在統(tǒng)計(jì)描述中（因此是大量粒子的行為），量化水平的分布非常密集，因此可以很好地近似于連續(xù)譜。

和

所以

與金屬不同，其中傳導(dǎo)電子構(gòu)成簡(jiǎn)并費(fèi)米?理想氣體?（因此，它表現(xiàn)出與玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)量的偏差），半導(dǎo)體中的電子和空穴遠(yuǎn)未簡(jiǎn)并。從物理上講，這意味著溫度是這樣的

因此，各個(gè)分布函數(shù)的指數(shù)分母就單位而言是主要的：

因此，方程 16 到 20 中的積分很容易計(jì)算，得到：

這可以看作是一個(gè)未知數(shù)μ （ T ） 中的兩個(gè)方程組。對(duì)于任何半導(dǎo)體（內(nèi)在或外在），我們都可以擺脫這個(gè)未知數(shù)，只需將兩個(gè)方程相乘并使用指數(shù)，即可獲得：

在哪里

是所討論的半導(dǎo)體的帶隙。請(qǐng)注意，此結(jié)果也適用于摻雜半導(dǎo)體。為了確定化學(xué)勢(shì)，讓我們參考n = p的本征半導(dǎo)體。根據(jù)公式 23：

從中

如果m? h = m? e

也就是說(shuō)，無(wú)論熱力學(xué)平衡溫度是多少，化學(xué)勢(shì)都落在間隙的中間，如圖 3 所示。

圖 3：對(duì)于m? h = m? e，化學(xué)勢(shì)落在間隙的中間。

再次考慮內(nèi)在機(jī)制，它必須是n = p，因此等式 24 變?yōu)?/p>

在等式 9 中替換返回：

取兩邊的對(duì)數(shù)：

存在

我們考慮了流動(dòng)性對(duì)溫度的依賴性。在比較等式 31 和等式 7 之前，讓我們研究 （32） 對(duì)β → 0 +的行為。我們有：

因?yàn)樵跓o(wú)限溫度的限制下，我們期望無(wú)限的流動(dòng)性。相反，在等式 7 中，我們?cè)谶@里重寫

常數(shù) 0 《 α 《 +∞ 是分布實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的直線原點(diǎn)的縱坐標(biāo)。后者沿著指定的β min上升，低于該值的 ln σ intr 遠(yuǎn)離線性趨勢(shì)，在 β → 0 + 即 T → +∞ 的極限內(nèi)正向發(fā)散。但這只是理論上的趨勢(shì)，因?yàn)閷?duì)于T ? T 0我們預(yù)計(jì)半導(dǎo)體會(huì)被破壞。

將有效質(zhì)量近似為電子質(zhì)量 （ m ? ? m ? ? m e ）：

我們感興趣的區(qū)間由公式 6 給出，并考慮遷移率常數(shù)

其中電子遷移率和間隙遷移率都在室溫下凍結(jié)（方程式 10）。有了這個(gè)假設(shè)，公式 36 寫成：

在上述區(qū)間中，它可以被認(rèn)為是具有良好近似的常數(shù)（由于分子中的主導(dǎo)項(xiàng)）。所以讓我們假設(shè)

我們現(xiàn)在可以寫出插值線的方程：

考慮到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)σ intr （ β 0 ） = 2 。02 S/m，而使用Mathematica執(zhí)行的擬合需要角線的系數(shù)，因此：

這是 SiC 半導(dǎo)體的典型帶隙值。

審核編輯：郭婷