數(shù)字濾波器

在信號處理領域中，對于信號處理的實時性、快速性的要求越來越高。而在許多信息處理過程中，如對信號的過濾、檢測、預測等，都要廣泛地用到濾波器。

其中數(shù)字濾波器具有穩(wěn)定性高、精度高、設計靈活、實現(xiàn)方便等許多突出的優(yōu)點，避免了模擬濾波器所無法克服的電壓漂移、溫度漂移和噪聲等問題，因而隨著數(shù)字技術的發(fā)展，用數(shù)字技術實現(xiàn)濾波器的功能越來越受到人們的注意和廣泛的應用。其中有限沖激響應(FIR)濾波器能在設計任意幅頻特性的同時保證嚴格的線性相位特性，在語音、數(shù)據(jù)傳輸中應用非常廣泛。

在信號處理中，濾波器的設計是非常重要的一個環(huán)節(jié)。濾波器的作用是什么？濾波器的作用就是把噪音去掉，把感興趣的信號從大量信號中提取出來。

濾波器分兩大類，一種是模擬(ANALOG)濾波器，另外一種是數(shù)字(DIGITAL)濾波器。模擬(ANALOG)濾波器是由模擬電路構成，而數(shù)字(DIGITAL)濾波器是由數(shù)字處理集成電路模塊(DSP)和相應的軟件構成。

數(shù)字(DIGITAL)濾波器是可編程的，所以相對于模擬(ANALOG)濾波器有很多優(yōu)點。其中最大的優(yōu)點是通過改變程序或改變程序變量就可設計出不同特點的濾波器，而且數(shù)字濾波器可以精確的處理低頻率信號。

前面我們提到，什么是濾波器？濾波器就是把噪音去掉，把感興趣的信號，或者說我們感興趣的頻率信號，從大量信號中提取出來。這如果要用數(shù)學語言來表達，那么就是用一個期望的頻率特征函數(shù)H(f)去乘以輸入信號頻率X(f)。我們知道，輸入信號是有時間性的，它是隨著時間的改變而改變。就是說信號是發(fā)生在時間空間(時空，TIME DOMAIN)里的，那么，“期望的頻率特征函數(shù)H(f)去乘以輸入信號頻率X(f)”這個數(shù)學表達在時間空間里是怎樣的一個表達式呢？根據(jù)傅立葉變換定律，“期望的頻率特征函數(shù)H(f)去乘以輸入信號頻率X(f)”在時間空間里就是“這個期望的頻率特征函數(shù)H(f)在時間空間里的表達式h(t)去和輸入信號x(t)做一個卷積”。

具體什么是卷積？用一句經(jīng)典的話概括：卷積就是各個時刻的輸入信號各自乘以相對應的衰減或增幅，然后疊加在一起作為輸出信號輸出，這里的衰減或增幅就對應與系統(tǒng)的單位沖激響應。——加權疊加。

物理意義：

卷積的重要的物理意義是：一個函數(shù)（如：單位響應）在另一個函數(shù)（如：輸入信號）上的加權疊加。

詳細的卷積原理可參考《信號與系統(tǒng)》里面的介紹，里面舉了非常詳細的例子介紹。如果有時間，我也會查閱資料給大家簡單介紹一下。

卷積的應用

用一個模板和一幅圖像進行卷積，對于圖像上的一個點，讓模板的原點和該點重合，然后模板上的點和圖像上對應的點相乘，然后各點的積相加，就得到了該點的卷積值。對圖像上的每個點都這樣處理。由于大多數(shù)模板都是對稱的，所以模板不旋轉(zhuǎn)。卷積是一種積分運算，用來求兩個曲線重疊區(qū)域面積?？梢钥醋骷訖嗲蠛?，可以用來消除噪聲、特征增強。

FIR濾波器是非遞歸型濾波器的簡稱，又叫有限長單位沖激響應濾波器。帶有常系數(shù)的FIR濾波器是一種LTI(線性時不變)數(shù)字濾波器。沖激響應是有限的意味著在濾波器中沒有發(fā)反饋。長度為N的FIR輸出對應于輸入時間序列x(n)餓關系由一種有限卷積和的形式給出，具體形式如下：

直接形式FIR濾波器圖解：

輸入信號是有時間性的，隨著時間的改變而改變，F(xiàn)IR濾波器最終的輸出是各個時刻的輸入乘以相應的權重（系數(shù)），然后進行疊加，輸出。

FIR數(shù)字濾波器“移動平均數(shù)”為例子：

“移動平均數(shù)”就是按我們事先設定的信號個數(shù)將輸入信號加以平均。譬如，如果我們按每4個信號就做一次平均，那么這個4點的“移動平均數(shù)”濾波器就如下圖所示：

下圖是經(jīng)過11點和51點“移動平均數(shù)”濾波器過濾的信號圖：

“移動平均數(shù)”濾波器的頻率響應如下圖所示：

如上圖所示，隨著點數(shù)的增加，滾降(ROLLOFF)變陡了，但對旁瓣(sidelobe，衰減部分)的高低影響不大。但是如果我們考慮對濾波器的每個系數(shù)采用不同的權重(加權)，而不是像“移動平均數(shù)”濾波器那樣，用相同的權重(1/4，對4點“移動平均數(shù)”濾波器來說)，那么可以期待旁瓣的大小會大大的降低。

對系數(shù)采用不同權重的濾波器，我們可以用下面的數(shù)學公式來表達：

這就是FIR數(shù)字濾波器的一般表達式。

下面我們以設計一個低通濾波器(LPF)為例，來說明FIR數(shù)字濾波器窗函數(shù)法的設計要點。

假設采樣頻率為Fs，濾波器的截止(CUT-OFF)頻率為Fco，濾波器的長度為Nfir，那么用圖形表示出來就如下圖所示：

假設Nfir=128，Nco=13 注：Fco=Fs*(Nco/Nfir)，h(t)的計算為：

那么這個低通濾波器的有限沖激響應就如下圖所示：

這樣我們就設計出了一個FIR低通濾波器。為了檢測這個濾波器的性能，我們用信號發(fā)生器產(chǎn)生包含從直流到頻率為采樣頻率的一組信號，如下圖所示：

我們把這組信號與前面設計的FIR低通濾波器做卷積運算，并將結果(輸出)進行快速傅立葉變換(FFT)，得到的頻率響應如下圖所示：

除了以上方法獲得加權系數(shù)（抽頭系數(shù)）外，還可以通過MATLAB獲取。

總之，F(xiàn)IR濾波器的目的是濾除不需要的成分，留下需要的成分，如何留下就是通過加權疊加的方式實現(xiàn)。

濾波器除了低通外，還有高通，帶通及帶阻。

參考文獻：http://blog.sina.com.cn/s/blog_74504f8f0100p5ub.html

FIR濾波器設計方法：

• 直接窗函數(shù)設計方法

• 等波紋設計方法