1 、引言

在許多通信系統(tǒng)中，基站通常會(huì)發(fā)送訓(xùn)練序列，用于終端和系統(tǒng)取得同步，這里的同步包括時(shí)間同步和頻率同步，而同步通常包括粗同步和精同步兩個(gè)步驟。在終端初始接入系統(tǒng)，或者從空閑模式重新接入系統(tǒng)時(shí)，通常需要進(jìn)行粗同步，粗同步的目標(biāo)是將終端的載波頻偏調(diào)整到1KHz 以內(nèi)，粗同步包括頻偏估計(jì)和頻偏調(diào)整兩個(gè)步驟，粗同步通常需要經(jīng)過若干次的“估計(jì)-調(diào)整”步驟以達(dá)到目標(biāo)。粗同步完成以后，終端需要進(jìn)入同步跟蹤或精同步階段。本文考慮頻率粗同步過程中的頻偏估計(jì)算法。

2 、系統(tǒng)模型

3、 頻偏估計(jì)方法

3.1 最大似然（ML）頻偏估計(jì)

在單徑（即L = 1）情況下，Luise 等人［1］提出一種最大似然頻偏估計(jì)方法，通過最大化下式

然而，由于式（5）的最大化復(fù)雜度很高，無法得到關(guān)于頻偏估計(jì)的閉式表達(dá)式，只能通過數(shù)值計(jì)算。文獻(xiàn)［1］在假設(shè)載噪比（Carrier-to-Noise-Ratio， CNR）很高，頻偏很小的情況下，通過一系列近似，得到以下近似解

其中， N ≤ M ?1， R（k） 為k r 的自相關(guān)函數(shù)，定義為

式（7）可以進(jìn)一步簡化為下式

仿真實(shí)驗(yàn)表明，在單徑的情況下，如果取N = M / 2 ，則利用式（9）得到的頻偏估計(jì)結(jié)果接近Cramer-Rao 下界（CRLB）。

在多徑的情況下，最大似然頻偏估計(jì)可以表示為［3］

R（k） 為接收信號(hào)的加權(quán)相關(guān)值，

根據(jù)式（10）得到頻偏估計(jì)為無偏估計(jì)，且估計(jì)方差達(dá)到Cramer-Rao 下界。然而，只能通過數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算，復(fù)雜度很高。

我們利用類似于文獻(xiàn)［1］所使用的近似方法，可以得到式（10）在CNR 很高，頻偏很小的情況下的近似解

比較式（7）和式（14）可知，兩者的形式是完全一致的，只是接收信號(hào)的相關(guān)值定義不同，在多徑的情況下，需要采用投影矩陣B 進(jìn)行加權(quán)，單徑只是多徑的一種特殊情況而已。為下文表述方便起見，我們將式（14）稱為近似最大似然（Approximate Maximum Likelihood， AML）解。

由于AML 只是在高CNR 情況下的近似，因此，在低SNR 的情況下，將變得不適用。而在實(shí)際的無線信道中，信道衰落現(xiàn)象使得在某些時(shí)刻信噪比變得很低，這時(shí)候，AML 得到的頻偏估計(jì)結(jié)果將變得很差。另外，AML 需要存儲(chǔ)投影矩陣B，對(duì)于不同的信道長度，該矩陣是不同的，針對(duì)每種信道長度分別存儲(chǔ)一組值將消耗大量的內(nèi)存。在工程實(shí)踐中，有必要尋求一種更加簡單，更加穩(wěn)健的頻偏估計(jì)方法。

3.2 穩(wěn)健的頻偏估計(jì)方法

3.2.1 基本原理

從式（1）可以看出，接收到的信號(hào)為不同延時(shí)的多徑信號(hào)的組合，每條徑對(duì)應(yīng)不同的頻偏值。首先需要利用訓(xùn)練序列的良好的自相關(guān)特性，分離出各條徑。對(duì)于對(duì)第i 條徑，利用訓(xùn)練序列與接收信號(hào)進(jìn)行共軛相關(guān)，得到序列

其中上式最后一步利用了訓(xùn)練序列模為1 的特性，

（a） 累加-相關(guān)方法

累加-相關(guān)方法指的是先將序列i k v ， 的前半部分和后半部分分別累加，然后對(duì)累加結(jié)果進(jìn)行相關(guān)，這里的相關(guān)指的是兩個(gè)值共軛相乘。

（b） 相關(guān)-累加方法

3.2.2 性能分析

（a）累加-相關(guān)方法的估計(jì)性能

（b） 相關(guān)-累加方法的估計(jì)性能

將式（25）代入（18）可得

在多徑的情況下，由于符號(hào)之間的干擾，使得式（28）和式（33）所表示的干擾項(xiàng)還包括不同延時(shí)的信號(hào)之間的相互干擾項(xiàng)，這使得頻偏估計(jì)性能分析變得十分困難，為簡便起見，我們?cè)诜治龉烙?jì)方差時(shí)，忽略不同延時(shí)的信號(hào)之間的干擾項(xiàng)，這樣得到的頻偏估計(jì)方差比真實(shí)值要小。對(duì)于“累加-相關(guān)”法，可以得到

4、性能仿真

下面通過仿真實(shí)驗(yàn)來對(duì)比各種算法的估計(jì)性能。采用均方根誤差（RMSE）來衡量各種估計(jì)算法的性能，其中RMSE 定義如下

圖4 為多徑個(gè)數(shù)L=4，且多徑個(gè)數(shù)準(zhǔn)確估計(jì)的情況下仿真得到的頻偏估計(jì)RMSE。在高CNR 區(qū)域，AML 具有最佳的性能，“累加-相關(guān)”方法與之接近，而“相關(guān)-累加”方法性能最差；在低CNR 區(qū)域，AML 性能最差，而“累加-相關(guān)”方法性能最佳。

圖5 為多徑個(gè)數(shù)L=4，且估計(jì)的多徑個(gè)數(shù)為5（多徑個(gè)數(shù)過估計(jì)）的情況下仿真得到的頻偏估計(jì)RMSE。這種情況下，“相關(guān)-累加”法和AML 的估計(jì)性能比多徑個(gè)數(shù)準(zhǔn)確估計(jì)時(shí)相比，性能略有下降，但“累加-相關(guān)”法性能沒有下降。

圖6 為多徑個(gè)數(shù)L=4，且估計(jì)的多徑個(gè)數(shù)為3（多徑個(gè)數(shù)欠估計(jì)）的情況下仿真得到的頻偏估計(jì)RMSE。這種情況下，各種算法的估計(jì)性能比多徑個(gè)數(shù)準(zhǔn)確估計(jì)時(shí)相比，性能下降較多。這是因?yàn)锳ML 算法只有在充分利用所有徑的情況下才能體現(xiàn)其性能優(yōu)勢(shì)，當(dāng)最后一條徑功率較大（相應(yīng)的，前面的幾條徑功率總和較小）時(shí)，容易出現(xiàn)異常值。而“累加-相關(guān)”法和“相關(guān)-累加”法則相對(duì)穩(wěn)健一些。

5 、結(jié)論

本文比較了近似最大似然頻偏估計(jì)算法，“累加-相關(guān)”法和“相關(guān)-累加”法的頻偏估計(jì)性能。仿真結(jié)果表明，在高CNR 的情況下，“累加-相關(guān)”方法與近似最大似然估計(jì)算法的性能接近但前者的計(jì)算復(fù)雜度和空間復(fù)雜度要低許多。另外，在多徑個(gè)數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)，以及在低CNR 的情況下，該方法具有良好的穩(wěn)健性。綜上所述，“累加-相關(guān)”頻偏估計(jì)方法非常適合于工程實(shí)現(xiàn)。

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