文章由我們熟悉的一維連續(xù)時(shí)間信號(hào)的卷積逐漸過渡到圖像卷積。文章是循序漸進(jìn)的，希望想要了解的朋友們可以耐心讀一讀。本人理解有限，如有錯(cuò)誤還請(qǐng)指出。

（1）先看連續(xù)時(shí)間信號(hào)的卷積：

可以看到對(duì)與連續(xù)時(shí)間信號(hào)而言，卷積是一種特殊的積分運(yùn)算，它的過程就是一個(gè)函數(shù)固定不動(dòng)，另一個(gè)函數(shù)先以y軸為對(duì)稱軸反轉(zhuǎn)，然后不斷執(zhí)行相乘，積分，滑動(dòng)。

（2.）當(dāng)我們把連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散化后，卷積的定義便成為了：

其中x(n)和h(n)是參與運(yùn)算的離散時(shí)間信號(hào)。在這個(gè)定義中，卷積的過程尤為清晰：

在坐標(biāo)軸上讓x(n)保持不動(dòng)，先把h(n)反轉(zhuǎn)，然后不斷執(zhí)行二者重合部分相乘求和然后讓h(n)滑動(dòng)的過程。離散時(shí)間信號(hào)可以看作是一串序列，它是一維的，如果我們把它擴(kuò)充為二維序列，那不就是圖像了嗎？圖像的本質(zhì)就是灰度值的二維序列。

（3.）下面我們來看什么是圖像的卷積：

在這幅圖中，source pixel 是我們的圖像，它本質(zhì)是灰度的二維序列，圖中的convolution kernel是什么呢？這個(gè)我們稱它為卷積核，這個(gè)卷積核就相當(dāng)于是一維離散信號(hào)卷積中的一個(gè)參與卷積的信號(hào)，圖像本身就相當(dāng)于是一維離散信號(hào)卷積中的另一個(gè)離散序列信號(hào)，圖像卷積的過程與一維的情況十分類似：圖像卷積就是卷積核在圖像上按行滑動(dòng)遍歷像素時(shí)不斷的相乘求和的過程。舉個(gè)例子：如圖中所示，目前卷積核滑動(dòng)到了圖像左上角，我們把圖像上的9個(gè)值與卷積核的9個(gè)數(shù)值按照對(duì)應(yīng)位置相乘再相加得到一個(gè)和，這個(gè)和就是我們得到的卷積值。然后把卷積核向右移動(dòng)一個(gè)像素，再執(zhí)行對(duì)應(yīng)位置相乘再相加的過程得到第二個(gè)卷積值，當(dāng)把所有像素遍歷完成之后我們得到的結(jié)果就構(gòu)成了一幅圖像。這就是卷積得到的圖像。

（4）在圖像處理中，我們不會(huì)為了卷積而去卷積，為什么呢？按照卷積的定義，它是與卷積核相乘求和的結(jié)果，如果圖像本身像素的數(shù)據(jù)類型是8位無符號(hào)數(shù)，那么它的灰度范圍就是0（黑色）到255（白色），這樣以來相乘后的值很容易大于255，那么怎么辦呢？一般就是截?cái)酁?55。從我這幾行的描述可以看到，單單卷積確實(shí)沒什么用，因?yàn)閳D像卷積的用武之處不在于此。

（5）圖像卷積常常用于圖像濾波（平滑化），圖像梯度，開運(yùn)算，閉運(yùn)算，黑帽運(yùn)算，頂帽運(yùn)算等形態(tài)處理，以及基于梯度運(yùn)算的邊緣提取中。

比如均值濾波的卷積核是這樣的：

它也是按照卷積運(yùn)算的過程相乘求和再滑動(dòng)，只不過它的核里每個(gè)值都是1，在求和之后還除以核的大小來取平均。

比如高斯濾波是這樣的：

高斯濾波的時(shí)候它的核是離中心越近值越大，也就是不同位置的權(quán)重不同。在相乘求和之后會(huì)除以核內(nèi)數(shù)值的求和值以保證灰度值不會(huì)超出范圍

看到這里大家應(yīng)該會(huì)有疑惑，不是正在說卷積嗎，怎么就開始扯濾波了？情況是這樣的：什么是濾波？它的本質(zhì)就是卷積，是按照一定的特殊規(guī)則去卷積，此時(shí)使用的卷積核不是隨意的，而是有既定的規(guī)矩的，比如卷積核應(yīng)取3x3,5x5這樣的具有中心的核，而且核內(nèi)數(shù)值的分布也是有規(guī)定的，視不同的濾波方式而定。

講了這么多我還沒有說什么是卷積核，卷積核就是一種求和的規(guī)則，是一種映射的規(guī)則。原圖像像素點(diǎn)的值與對(duì)應(yīng)位置上的卷積核的值相乘然后按權(quán)重相加處理，這個(gè)過程用數(shù)學(xué)去表示不就是src(原圖像) x kernel(映射規(guī)則)=result(卷積的結(jié)果) 嗎？所以卷積核就是一種運(yùn)算的規(guī)則，由卷積核規(guī)則的不同衍生出了不同的濾波方式，不同的梯度運(yùn)算方式等。

講到這里我還想再說一說濾波，為什么卷積一下就濾波了呢？我舉個(gè)例子：就比如上文寫到的均值濾波，它的映射規(guī)則（就是卷積核）不就是全部都是1除以核大小嗎？也就是說原圖像與這樣的卷積核卷積的結(jié)果就是原圖像的像素值乘以卷積核對(duì)應(yīng)位置的值相加，很巧合的是核內(nèi)的值都是1/25（這是對(duì)于5x5大小的核來說的），那這樣看很顯然，卷積的結(jié)果就是把原圖像像素值相加取平均值。這樣一來像素與像素之間的差異性就變小了，圖像中分明的線條和邊界就是像素值迥然的差異所導(dǎo)致的，差異性減小導(dǎo)致邊界就模糊了，圖像自然就變得平滑了。說到這里還是沒說濾波這個(gè)概念，我們?cè)?a target="_blank">數(shù)字信號(hào)處理中接觸的諸如高通濾波就是為了濾除高頻信號(hào)（分布在π附近的信號(hào)），在圖像濾波中也是如此。我剛才說濾波后像素與像素之間的差異性減小了，這不就意味著濾除了高頻成分嗎？高頻信號(hào)的定義就是變化很快的信號(hào)，在圖像中，如果兩個(gè)像素差異很大就意味著移動(dòng)一個(gè)像素的距離帶來的變化就是巨大的，而當(dāng)這巨大的變化連接起來就是圖像中的圖形的邊界或線條，這樣就是為什么線條被稱之為高頻信號(hào)。

我想看到這里大家應(yīng)該就理解了為什么卷積一下就能濾波了吧，卷積的一種應(yīng)用形式就是濾波，當(dāng)然不同的卷積核有不同的卷積效果，所以卷積還有諸如梯度運(yùn)算等其他的應(yīng)用形式，差別就在于卷積核的不同

總結(jié)起來就是：圖像卷積靠卷積核完成，卷積核規(guī)定了運(yùn)算的規(guī)則，濾波是卷積運(yùn)算所帶來的效果。不同的卷積核所得到的卷積效果不同，故衍生出了不同種類的濾波，形態(tài)運(yùn)算，梯度運(yùn)算等等概念。由此可見：卷積是圖像處理的基礎(chǔ)，許許多多處理方式都是離不開卷積的