本文介紹了基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)分布的重要特征，并說(shuō)明了概率密度函數(shù)的重要性。

本文是我們關(guān)于電氣工程統(tǒng)計(jì)的系列文章的續(xù)篇。前兩篇文章討論了統(tǒng)計(jì)分析和統(tǒng)計(jì)性描述，為我們的討論奠定了基礎(chǔ)。

然后，我們研究了信號(hào)處理中的平均偏差，標(biāo)準(zhǔn)偏差和方差-在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差時(shí)要特別注意樣本量補(bǔ)償。在上一篇文章中，我們通過(guò)探索標(biāo)準(zhǔn)差與均方根值的關(guān)系來(lái)進(jìn)一步推斷我們對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的理解。在本文中，我們將介紹正態(tài)分布在電氣工程中的位置，特別是在評(píng)估概率密度函數(shù)中。

什么是正態(tài)分布？

如果您反復(fù)測(cè)量一個(gè)或多或少隨機(jī)變化的量（噪聲信號(hào)中的電壓電平，47kΩ電阻器的實(shí)際電阻值，工程等級(jí)的測(cè)試分?jǐn)?shù)，草坪上的草葉長(zhǎng)度等），隨著越來(lái)越多的數(shù)據(jù)積累，值的分布可能會(huì)逐漸類似于以下所示的形狀。

表示正態(tài)分布或高斯分布的直方圖。

這稱為正態(tài)分布或高斯分布。它遵循熟悉的鐘形曲線形狀，但是使用名稱“正態(tài)”或“高斯”而不是“鐘形曲線”非常重要，因?yàn)槠渌愋偷姆植季哂邢嗨频男螤?。在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，在工程，物理科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域研究的大量現(xiàn)象將產(chǎn)生正態(tài)分布。

正態(tài)分布的特征

正態(tài)分布是一種數(shù)學(xué)上定義的關(guān)系，用于描述數(shù)據(jù)集中的值，而現(xiàn)實(shí)生活中的測(cè)量值隨著樣本量的增加而近似于這種關(guān)系。讓我們看一下正態(tài)分布的一些重要特征。

給定正態(tài)分布的特定形狀完全由均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差定義。換句話說(shuō)，如果您知道正態(tài)分布數(shù)據(jù)集的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差，則可以繪制直方圖的形狀。

平均值確定曲線中心的位置，標(biāo)準(zhǔn)偏差確定其表觀寬度。在上面顯示的分布中，平均值為0，標(biāo)準(zhǔn)偏差為5。

盡管從理論上講，高斯曲線延伸到正和負(fù)無(wú)窮大，但是當(dāng)值在均值之上或之下大于約3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差時(shí)，預(yù)期的出現(xiàn)次數(shù)將變得非常小。

直方圖和概率密度函數(shù)

如果我們?yōu)樽裱龖B(tài)分布的變量收集了大量數(shù)據(jù)，則可以將這些數(shù)據(jù)顯示為直方圖，并且將具有高斯曲線形狀。另一方面，如果我們知道數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，則可以畫出與我們的經(jīng)驗(yàn)觀察值相對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)。

為此，我們使用以下公式：

其中，μ是平均值，σ是標(biāo)準(zhǔn)偏差。

這是平均值為0，標(biāo)準(zhǔn)偏差為5的正態(tài)分布變量的概率密度函數(shù)圖。

正態(tài)分布變量的圖密度函數(shù)。在這種情況下，平均值為0，標(biāo)準(zhǔn)偏差為5。解釋概率密度函數(shù)

通過(guò)計(jì)算給定間隔（例如，從–3到+3）內(nèi)P（x）曲線下的面積，我們可以確定隨機(jī)選擇的測(cè)量值落入該間隔的概率。出于實(shí)際目的，我們也可以將P（x）解釋為隨機(jī)選擇的測(cè)量將近似等于某個(gè)值的可能性。

例如，假設(shè)上面顯示的概率密度函數(shù)對(duì)應(yīng)于我們通過(guò)測(cè)量傳感器信號(hào)的電壓（以毫伏為單位）生成的直方圖。所有值均四舍五入至最接近的毫伏。平均值為0 V，標(biāo)準(zhǔn)偏差為5 mV。

我們使用上面給出的公式計(jì)算了高斯P（x），并繪制了P（x）來(lái)繪制一條曲線，該曲線是所測(cè)傳感器電壓分布的連續(xù)數(shù)學(xué)表示?，F(xiàn)在，我們查看該圖，發(fā)現(xiàn)6 mV的值對(duì)應(yīng)于P（x）= 0.04，這表明隨機(jī)選擇的電壓測(cè)量值大約為6 mV的可能性為4％。

我發(fā)現(xiàn)以這種方式考慮概率密度函數(shù)很有幫助，但是請(qǐng)記住，從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)角度來(lái)看，這種解釋是不正確的。概率密度函數(shù)是連續(xù)的，因此，概率僅在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)為非零值，而不是沿水平軸的一個(gè)精確值。

概率密度函數(shù)的歸一化

所有概率密度函數(shù)都經(jīng)過(guò)歸一化，因此曲線下的總面積為1。

這是有道理的：整條曲線下方的區(qū)域?yàn)槲覀兲峁┝穗S機(jī)選擇的測(cè)量值落入與整條曲線相對(duì)應(yīng)的間隔內(nèi)的可能性。由于該值有100％的機(jī)會(huì)會(huì)在此間隔內(nèi)某個(gè)位置，因此積分P（x）的結(jié)果必須為1。

由于這種歸一化，如果我們?cè)谕惠S上繪制P（x）和直方圖，它們將不會(huì)重合：P（x）在垂直軸上僅從0擴(kuò)展到0.08，而直方圖從0擴(kuò)展到8000（因?yàn)樗鞘褂?00,000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)生成的）。

但是，如果我將P（x）乘以100,000，并將結(jié)果曲線包括在直方圖中，您會(huì)發(fā)現(xiàn)高斯概率密度函數(shù)可以數(shù)學(xué)方式捕獲所測(cè)得的分布。

當(dāng)我們將P（x）乘以100,000并將結(jié)果曲線包括在直方圖中時(shí)，高斯概率密度函數(shù)。結(jié)論

我希望您喜歡這篇文章，并希望它介紹了正態(tài)分布并在實(shí)踐和理論上取得了很好的平衡。在下一篇文章中，我們將繼續(xù)討論正態(tài)分布。

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