一、信號與系統綜述

《信號與系統》是電子、信息類專業的專業基礎課，為后續課如通信原理、數字信號處理等的學習打下基礎，可以說，信號與系統課程學習的好壞，對整個電子信息類專業課程的學習至關重要，因為它起著承上啟下的作用。可惜我們的同學這門課都學得不好。從功利和追求真理兩個角度來說，都應該學好這門課：從功利的角度來說，這門課學分多，難學，能拉開與其他學生的距離，獲得好的績點對畢業評優很有好處，是某些專業考研的必考科目；從掌握真理的角度來說，學好這門課是理解通信過程的一個關鍵環節，否則不僅后續課如通信原理、數字信號處理不好理解，而且對通信的基本問題，如信號無失真失真傳輸的條件、帶限信號采樣定理、信號調制等都不能理解，即使大學本科畢業了，其實對通信還是一個“門外漢”。《信號與系統》這門課的主要內容，可以從它的課程名字，即“信號”與“系統”及為了研究信號與系統的求解而引入的“變換”這三個方面來說明。

1、信號信號是信息的載體，任何信息都通過信號作為載體來傳輸。有的信號如聲音信號、圖像信號等模擬信號是我們本身需要的，有的信號如各種調制信號是為了信號的傳輸而產生的，如模擬調制信號、數字調制信號，那么我們需要掌握信號的各種性質，包括時域的性質和頻域的性質。信號在時域有哪些性質呢？我們在時域能對信號進行哪些處理呢？

①信號在時域有連續性和離散型之分，連續性和離散型指時間取值，離散信號是數字時代的基本特征，它是對連續信號進行等間隔采樣取得的。對連續信號，有兩個特殊的信號很重要：階躍信號和沖激信號，它們往往是描述其他連續信號的基礎；對離散信號，也有兩個重要的特殊信號：單位采樣信號和單位階躍信號。吳大正教材一般稱“函數”，這里我們一般稱“信號”，同樣地，這兩個信號也是描述其他離散信號的基礎。

②信號在時域可以進行各種運算，如相加、相減、反轉、平移、幅度伸縮、時間伸縮（即尺度變換）。注意離散信號一般不做尺度變換，因為可能丟失原信號的部分信息。③信號在時域有周期性和非周期性之分，它們在頻域的性質差別是很大的：前者在頻域是離散的，后者在頻域是連續的。

④根據信號的能量有限性和功率有限性，將信號分為能量信號和功率信號，能量信號對應的頻域描述是頻譜密度和能量譜密度，功率信號對應的頻域描述是頻譜和功率譜密度。⑤信號在時域的自相關函數是一個很重要的概念，它不僅反映了信號的自相關程度，而且根據維納-欣欽公式，它是聯系時域和頻域的一個紐帶。以上孤立地研究信號，沒有考慮系統的作用，任何信號都是在一定的系統中起作用的，因此必須要考慮系統的性質及信號和系統的相互作用。

2、系統簡單地說，系統就是完成一定功能的整體，如消化系統、生態系統等，在通信中就是通信系統，本課程主要是電路系統，因為信號是電信號，系統是對電信號進行處理的。為什么要研究系統呢？一是因為信號必須在一定的系統中才起作用，才能傳輸和處理，比如信號要無失真地傳輸，對系統必須有一定的要求；二是系統本身具有一定的功能和性質，必須專門研究，比如如何實現各種不同功能的系統。

①本課程的系統最重要的特征是線性，此外還有時不變性，由于有這兩個假設，研究起來就比較方便，而且現實的系統一般都滿足這兩個條件。簡單說，因果性就是指結果不能發生在原因之前。因果性很重要，因為它關系到系統能否實現，模擬的非因果系統是不能實現的，但是數字非因果系統可以利用延遲電路來實現，這體現了數字信號處理的優越性。穩定性也很重要，因為它關系到系統能否正常工作。系統的四性，即線性、時不變性、因果性、穩定性是對系統總的概括，必須首先深刻理解。

②當系統的激勵和響應都是連續信號時，稱為連續系統，連續系統的激勵與響應的關系用微分方程來描述；當激勵和響應都是離散信號時，稱為離散系統，離散系統的激勵與響應的關系用差分方程來描述。

③當系統是已知的，給出任意激勵，求出系統的響應是一個基本任務，時域的求解有兩個方法：一個是求解微分方程或差分方程，這是一種純粹的數學方法，其中求連續系統的沖激響應通常是很麻煩的，后面我們會看到在變換域中求沖激響應是很簡單的；另一個是信號分解的方法，求出基本信號（沖激信號、單位采樣信號）的響應，然后利用信號的分解和系統的線性和時不變性，由此得出系統的總響應，并由此導出卷積、卷積和的概念。求沖激響應的匹配法是一個很變態的理論，太繁瑣了，不要求掌握，初步了解一下就可以了，因為后面有求解這類問題的非常高效的方法，即拉氏變換法。一個系統的特性完全由沖激響應或者單位采樣響應決定，為什么呢？這是因為沖激信號和單位采樣信號的頻譜是一條“水平線”，它包含了所有的頻率分量，而且所有頻率分量的能量都是一樣的，這樣的信號經過一個系統之后，系統的響應就完全決定了系統的性質。事實上，卷積（卷積和）的方法有時甚至比求解微分（差分方程）更麻煩，但是卷積方法包含了明顯的物理意義，由信號分解的方法導出很多優美的理論，如傅里葉變換、拉氏變換和z變換等，它們本質上都是信號分解的方法。例如，傅里葉變換將信號分解為正弦信號或復指數信號之和，基本的復指數信號經過系統之后，還是一個同頻率的復指數信號，但是其幅度和相位發生了改變，幅度和相位如何改變，完全由系統本身的性質決定，由此發展出線性時不變系統的頻域分析方法。

3、變換信號與系統的核心內容是三個變換，及由變換引入的很多概念和方法。

①三個變換，即傅里葉變換、拉氏變換和z變換，其中傅里葉變換的物理意義最豐富，由它引入很多有實在意義的概念，如幅頻特性、相頻特性、頻移特性（調制）、能量譜、功率譜、帶寬等。此外，信號無失真傳輸的條件、吉布斯現象、取樣定理等，都涉及傅里葉變換。由離散傅里葉級數和離散時間傅里葉變換結合，引入離散傅里葉變換的概念，它是現代數字信號處理最重要的分析工具。另外兩個變換，即拉氏變換和z變換，它們作為一種分析工具的意味更強一些，但是也包含很多物理意義，并且和傅里葉變換有著一定的聯系。

②拉氏變換是為了克服傅里葉變換的兩個缺點而引入的，因而威力更大一些，解決的問題更多一些，并且傅里葉變換就是一種特殊情況下的拉氏變換。拉氏變換也是一種信號分解的處理方法，不過它將信號分解為另一種形式的復指數信號，在求系統響應和卷積方面，拉氏變換有著很高的效率：它將微分方程變成代數方程，將卷積變成乘積。由拉氏變換可以導出系統函數，當然就更有物理意義了：由系統函數可以判斷系統的性質如系統的沖激響應、濾波特性、穩定性等，它也是電路設計的基礎。③z變換是為了分析和求解離散系統而引入的，它將差分方程變成代數方程，將卷積和變成乘積。z變換也是一種信號分解方法，它的基本信號也是一個復指數信號。相對連續系統的信號來說，離散信號的一些概念更難理解一些，如數字角頻率、幅頻特性、相頻特性等，這些概念需要反復體會，將模擬系統和數字系統進行對照分析、理解。

④三個變換的性質很多，都有差不多十條，學好其中一個變換的性質，然后將另兩個進行對比，可以收到事半功倍的效果。

二、如何學好信號與系統這門課

信號與系統教材公式之多，比高等數學有過之而無不及，很多學生因此望而生畏，那么如何學好這門課呢？下面提幾條建議。

1、理解物理意義信號與系統不是高等數學，物理意義很重要，學習任何一個概念和理論，都要注重理解其物理意義。如果追求數學技巧而忽視公式背后的物理意義，就是舍本逐末、因小失大了。數學只是工具，有時是很強大的工具（如各種變換），但是一定要注意理解數學背后的物理意義，以及為什么要引入這些工具，由這些工具又引出了哪些重要的概念和方法。數學是為解決問題的工具，背后的物理意義是我們需要關注的焦點。

2、對比是一個很好的方法將微分方程的經典解和差分方程的經典解對比，將卷積和卷積和對比，將沖激響應和單位序列響應對比，將傅里葉變換和拉氏變換對比，將拉氏變換和z變換對比，這些對比都有助于提高學習效率，加深理解，收到事半功倍的效果。將時域分析方法和變換域方法進行對比，可以更好地理解變換域方法的優勢。3、推導各種變換公式，是很好的基本功訓練 傅里葉變換、拉氏變換和z變換三大變換都有專門的表可供參考，但是我建議每個想學好《信號與系統》這門課的同學都獨立把所有公式都推導一遍，好處是：在推導過程中，反復用到各種變換的性質，無形中更加深刻地領會變換的各種性質。下面是我推導的吳大正《信號與線性系統分析》（第4版）附錄五“拉普拉斯逆變換表”所有公式，并改正了其中的一個錯誤，即編號為4-2的變換。我把推導過程詳細地寫下來，發給同學們看，如下圖所示。我敢打包票地說，我寫的公式推導沒有一個學生認真地閱讀。

4、一定數量的刷題是必不可少的

學習任何理論，刷一定數量的題目都是不可少的，因為書上的理論都是放之四海而皆準的真理，是“矛盾的普遍性”，怎樣拿這些普遍真理取解決實際問題，是“矛盾的特殊性”，要把普遍性和特殊性結合起來，唯有刷題，解決實際問題。會做題了，說明對基本理論掌握了，融會貫通了，否則需要繼續加深對基礎理論的理解，即看書學習。牛頓有一句名言：“你若想獲得知識，你該下苦功；你若想獲得食物，你該下苦功；你若想得到快樂，你也該下苦功，因為辛苦是獲得一切的定律。”讓我們不畏艱險，勇敢地克服學習上的一道道難關吧。

三、學好信號與系統的關鍵

學好信號與系統有兩個關鍵：復數和信號分解。1、 復數復數是一個很強大的工具，能將很復雜的數學問題很簡單地表達出來，沒有復數這個有力的工具，真不知道信號與系統這門課將會復雜到什么程度，也許根本不會出現這門學問。2、 信號分解 沒有信號的分解，要求出任意信號通過系統的響應將會是很困難的。各種變換其實就是信號分解思想的運用。信號分解可以在兩個域中進行：時域和變換域。在時域，將復雜的信號分解為基本信號，由基本信號通過系統的響應和系統的線性時不變性質，可以推出卷積、卷積和公式，但是計算仍然太麻煩，于是引入另一種信號分解，即變換域分解。傅里葉變換將信號分解為許多不同頻率信號的疊加，拉氏變換和z變換將信號分解為另兩種形式的復指數信號。分解的好處是把困難的問題化為簡單的問題。

四、我學習信號與系統的過程

我的本科是在中山大學讀的，學的不是通信，所以幾乎所有的通信知識都是自學掌握的。在學習中遇到一些問題，數學方面當然沒有任何障礙，困難主要在于物理意義的理解上。在和師兄弟討論學術問題時，我才意識到自己對很多理論沒有真正理解，完全是把專業理論課當做數學來學的。直到我將《信號與系統》、《通信原理》和《數字信號處理》等重要課程都講了一遍之后，很多理論的物理意義我才有了比較深刻的理解，而且能融會貫通，能解釋現實中的各種通信現象。所以，我在前面特別強調對數學公式中的物理意義的理解。 我自學信號與系統這門課時，用的是這本教材：陳生潭等的《信號與系統》（第二版），西安電子科技大學出版社。

竊以為這本書比吳大正的那本教材更好，可能是先入為主的緣故吧。該書理論講得很好，美中不足的是課后習題答案很多錯誤，可能是研究生甚至是本科生幫忙做的，我把能發現的錯誤都更正過來了。

我自學信號與系統時，一般是每一章花三天：一天看理論，兩天做習題，全書二十多天結束。做題時，我不是有選擇地做，而是從頭到尾全部做完，只有極少數的題目沒有做。中國古時有諺語：賊來如梳，兵來如篦，官來如剃，我做題一般是“官來如剃”的。現在的學生是連稀稀拉拉地“梳”一下習題都不認真的，更不用說“篦”和“剃”了。不做習題，就不會靈活地運用所學的理論，要么是完全不懂，要么是似懂非懂。學習各種變換的性質時，不僅要知其然，也要知其所以然，懂得每一條性質的來龍去脈，即把證明過程看懂。最后，再重復一遍牛頓的名言： 你若想獲得知識，你該下苦功；你若想獲得食物，你該下苦功；你若想得到快樂，你也該下苦功，因為辛苦是獲得一切的定律。

原文標題：信號與系統學習經驗談——信號與系統綜述

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責任編輯：haq