自上世紀八十年代發現量子霍爾效應以來，人們逐漸認識到了一種新物相---拓撲相的存在，這種奇異的物相能使系統免于材料缺陷和無序的干擾，它所具備的魯棒特性使得拓撲態在信息傳輸與量子計算領域產生了巨大的潛在應用價值。對拓撲相的研究雖然始于電子系統，但是近年來這一概念已經被拓展到了幾乎所有物理學分支，如光學、聲學、力學、電路和自旋電子學等。

拓撲理論中存在著一種非常重要的對應關系，即所謂的體邊對應：體能帶的性質決定邊界態（表面態）的屬性。傳統的n維拓撲絕緣體具有n-1維拓撲邊界態（表面態），被稱為一階拓撲絕緣體，如圖1（a）所示。有趣的是，近兩三年來，拓撲絕緣體的定義被推廣到了高階情形，即所謂的高階拓撲絕緣體。和普通（一階）絕緣體所不同的是，高階拓撲絕緣體允許n-2甚至n-3維拓撲邊界態的存在，如圖1（b）和1（c）所示。對高階拓撲相的刻畫需要借助于一些新的拓撲不變量，如體極化、格林函數零點和貝里相等。

圖1：不同類型的拓撲絕緣體。不同維度下，一階（a）、二階（b）和三階（b）拓撲絕緣體及拓撲邊界態特點。

在經典的磁性系統中，自旋波（或磁振子）和磁孤子（如疇壁、渦旋、斯格明子等）代表了兩種重要的激發。類似于電子和光，磁振子和磁孤子也能作為載體實現對信息的操控、傳輸和處理，基于它們的器件具有高密度、低能耗和非易失等傳統電子器件所無法企及的優勢。但是一般的自旋電子器件容易受到材料中不可避免的缺陷和無序的影響，尋找磁性材料中的拓撲相有望成為解決這一問題的關鍵。2010年磁振子霍爾效應的發現揭開了人們研究磁振子拓撲相的序幕，最近人們又發現磁孤子陣列的集體振蕩在一定的條件下也能表現出拓撲性質，基于磁振子和磁孤子晶體（或超材料）的拓撲絕緣體和半金屬吸引了越來越多研究者的關注。

在此領域，電子科技大學電子學院、電子薄膜與集成器件國家重點實驗室嚴鵬教授課題組已經取得了一系列前期重要成果［Phys. Rev. Lett. 124， 217204 （2020）; Phys. Rev. Lett. 121， 197201 （2018）; Phys. Rev. Res. 2， 022028（R） （2020）; Phys. Rev. Applied 13， 064058 （2020）; Phys. Rev. B 98， 180407（R） （2018）; npj Comput. Mater. 5， 107 （2019）; Nano Lett. 20， 7566 （2020）］。最近，嚴鵬教授課題組應邀在物理學綜述期刊《物理報道》（Physics Reports）上在線發表長篇綜述文章《經典磁性系統中的拓撲絕緣體和半金屬》（“Topological insulators and semimetals in classical magnetic systems”）。李志雄博士為該論文的第一作者，嚴鵬教授為通訊作者，曹云姍副教授參與了指導。電子科大為該工作的唯一完成單位。該綜述文章詳細介紹了近十年來磁性系統中對磁振子和磁孤子拓撲相的研究現狀，包括磁振子霍爾效應、拓撲磁振子絕緣體和半金屬、拓撲磁振子器件、磁孤子系統中的（高階）拓撲相等，同時也指出了本領域面臨的挑戰與機遇。

圖2：（a）一維渦旋、斯格明子和疇壁晶體示意圖。（b）一維疇壁晶體結構對應的能帶。（c）邊界態波函數強度的空間分布。（d）二維渦旋呼吸型蜂巢陣列。（e）系統的相圖。（f）高階拓撲邊界態（角態）的波函數強度分布。

對磁振子的拓撲相的研究主要可以歸結為如下方向：（1）基于不同晶格類型的拓撲磁振子絕緣體；（2）不同微觀機制導致的磁振子非平庸拓撲相，如由于反演對稱破缺導致的Dzyaloshinskii-Moriya 相互作用、磁偶極相互作用和磁性結構等；（3）狄拉克和外爾磁振子；（4）磁振子與聲子耦合形成的拓撲磁振子極化子；（5）高階拓撲磁振子；（6）基于磁振子的拓撲自旋器件，如磁振子二極管、磁振子分束器、磁振子干涉儀和磁振子邏輯門等。磁孤子作為磁性系統中的另一種重要激發，其拓撲相的研究還相對較少。對于一維磁孤子（以疇壁為例）系統 ［如圖2（a）所示］，通過調節磁孤子之間的間距，系統可以實現一階拓撲相，圖2（b）給出了有限大小系統的能帶結構，可以發現帶隙中存在明顯的簡并模式，這些模式正是局域振蕩的拓撲邊界態，如圖2（c）所示。如果考慮二維磁孤子（如渦旋）系統 ［這里以呼吸型蜂巢結構為例，如圖2（d）所示］，通過調節兩個幾何參數d1和d2，系統可以在平凡相、一階拓撲相和高階拓撲相之間變換，相圖如圖2（e）所示。圖2（f）畫出了系統處于高階拓撲相時對應的拓撲角態模式。總的來說，磁學系統中高階拓撲相的研究還處在非常初級的階段，很多相關的科學問題亟待解決。

圖3：（a）呼吸型kagome高階拓撲電路。（b）在某個頂點引入次近鄰相互作用，從而打破手征對稱性。（c）實驗測量結果（虛線和實線分別表示沒有和有次近鄰相互作用）。

值得一提的是，呼吸型晶體中出現的高階拓撲相零能模一般受廣義手征對稱性的保護，這一性質可以通過實驗上引入次近鄰相互作用打破系統手征對稱性，進而測量零能模是否有漂移來檢驗。但是，要在凝聚態系統中人為的引入次近鄰相互作用是非常困難的，幸運的是近幾年發展的拓撲電路系統能方便地解決這一問題（次近鄰相互作用可以通過接入電容或電感來實現）。圖3（a）畫出了一種高階拓撲電路模型（呼吸型kagome晶格），在某一個頂點上通過連接額外的電容從而破壞系統的手征對稱性，如圖3（b）所示。實驗結果表明當系統手征對稱性被打破時，高階拓撲邊界態的頻率相比具有手征對稱性時有了明顯的偏移 ［如圖3（c）所示］，這一實驗結果很好的證實了手征對稱性保護拓撲零能模的理論。

圖4：磁孤子拓撲絕緣體和半金屬。（a）磁孤子陣列中一階和高階拓撲絕緣相以及外爾半金屬相的典型特點。（b）磁孤子系統中拓撲邊界態的探測原理：通過測量入射和出射的磁振蕩模式反推邊界態頻譜。

圖4（a）畫出了磁孤子系統中拓撲絕緣相（包括一階和高階）和外爾半金屬相的典型特點，而磁孤子系統中拓撲邊界態的探測可以通過如下方案實現：體態模式和邊界態模式發生相互作用后，通過分析入射和出射的磁振蕩模式來推斷邊界態的信息（基于能量-動量守恒原理），如圖4（b）所示。對磁性系統中拓撲相的基礎研究不但能揭示和理解這些有趣的拓撲物理，同時還能為將來設計受拓撲保護的自旋電子器件提供重要的參考和建議。該綜述文章能為更好的設計基于磁振子和磁孤子的拓撲電子器件找準方向和理清思路。

該項工作得到了國家自然科學基金和中國博士后科學基金的資助。
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