摘 要： 提出了一種基于參數約束關系的工業相機的線性標定法，該方法充分考慮了攝像機標定參數之間的約束關系，利用單位正交矩陣的6個約束關系，使標定誤差按參數之間的約束關系進行分配。該方法既避免了攝像機非線性標定所需優化算法的繁瑣和不穩定，亦解決了其他線性標定法中攝像機內外部參數分解誤差大的問題，是一種簡單、高效、實用的攝像機標定算法。

視覺檢測由于具有非接觸、測量速度快、信息量大等優點而被廣泛應用于質量檢測[1-2]、尺寸檢測[3-5]以及方位檢測[6-8]等諸多工業檢測領域[9]。其中，視覺檢測的一個基本任務就是通過工業相機獲取的二維圖像信息精確地計算出空間物體的三維幾何信息，而實現這一過程的前提和基礎是攝像機標定[10-12]。

攝像機標定就是確定攝像機的位置、屬性參數（稱為攝像機內外部參數），以便于確定世界坐標系中物理點與其在圖像坐標系中所成的像點之間的對應關系[13]。精確標定攝像機內外部參數不僅可以提高視覺檢測任務的可靠性，而且還可以提高視覺檢測任務的精度；同時，標定的實時性可以更好地滿足工業現場檢測應用的需要。

目前攝像機標定方法很多，按其求解算法大致可以分為線性標定法、非線性標定法以及兩步法[14]。本文提出了一種用于工業視覺檢測應用的簡單的攝像機標定方法。該方法是一種全線性標定方法，只利用線性方程和矩陣計算，分解出攝像機內外部參數，由于在進行參數分解時充分考慮了攝像機標定參數之間的約束關系，實現了標定誤差按參數之間的約束關系進行分配，因而該算法精度高、速度快。

1 攝像機模型及標定參數

1.1 針孔成像模型

理想的攝像機成像模型是針孔模型，由于攝像機光學系統的加工誤差和裝配誤差，攝像機實際成像并不完全滿足針孔成像，即攝像機實際成像與理想成像之間存在著光學畸變誤差[15]。由于針孔成像原理簡單，再加之現代光電技術的發展，攝像機成像的畸變誤差越來越小，成像質量越來越高，因此在針孔成像模型的基礎上，只要適當地考慮一些鏡頭的畸變因素，就能滿足多數的應用需求。因此，本文的成像模型采用針孔模型，如圖1所示。

該模型共有4個坐標系，分別為：

（1）世界坐標系owxwywzw：是由用戶任意定義的三維空間坐標系，（xw，yw，zw）表示物點P在世界坐標系下的三維坐標。

（2）攝像機坐標系o0x0y0z0：是以鏡頭光學中心為原點，z0軸平行于攝像機光軸的坐標系。世界坐標系與攝像機坐標系的變換可以用旋轉矩陣R和平移向量T來描述：

x0y0z0=Rxwywzw+T（1）

其中，R=r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33，T=txtytz。

（3）圖像物理坐標系oxy：原點位于攝像機光軸與圖像平面的交點，x、y軸分別與x0、y0軸平行。攝像機坐標系與圖像物理坐標系的變換為：

xy1=f 0 00 f 00 0 1x0y0z0（2）

（4）圖像像素坐標系ofuv：原點of位于CCD圖像平面的左上角，單位是像素，設圖像平面中心坐標（即圖像物理坐標系的原點o在圖像像素坐標系中的坐標）為（u0，v0），u和v分別表示像素所在的列和行。圖像物理坐標系與圖像像素坐標系的變換為：

uv1=1/dx 0 u0 0 1/dx v0 0 0 1xy1（3）

從世界坐標系owxwywzw到圖像像素坐標系總的變換為：

z0uv1=?琢x 0 u0 00 ?琢y v0 00 0 1 0R T0 1 xwywzw1=Mxwywzw1（4）

1.2 需要標定的參數

（1）外部參數：包括R和T，共12個，但因R為單位正交矩陣，必須滿足6個正交約束條件，故實際上只有6個外部參數需要標定。

（2）內部參數：包括?琢x、?琢y、u0、v0 4個。其中，?琢x=f/dx，?琢y=f/dy、dx、dy分別為一個像素在x、y方向上的物理尺寸。

2 參數標定

做一個特制的標定參照物如圖2所示，攝像機獲取該參照物圖像，用特征點提取算法計算參照物上每一個標定點的圖像像素坐標u、v，世界坐標系可選標定參照物的物體坐標系。已知標定參照物上標定點的世界坐標及其對應的圖像像素坐標，就可以求出攝像機投影變換矩陣M。

將式（4）改寫為：

z0uv1=Mxwywzw1=m11 m12 m13 m14m21 m22 m23 m24m31 m32 m33 m34xwywzw1（5）

整理消去z0后，可得到如下兩個線性方程：

m11xw+m12yw+m13zw+m14-um31xw-um32yw-um33zw=um34

m21xw+m22yw+m23zw+m24-vm31xw-vm32yw-vm33zw=vm34（6）

對每一個標定點都有式（6）所示的兩個方程。若采用n≥6個點，就可以得到2n個關于mij的線性方程，用最小二乘法可以計算出投影變換矩陣M的系數。

xw1 yw1 zw1 1 0 0 0 0 -u1xw1 -u1yw1 -u1zw1 0 0 0 0 xw1 yw1 zw1 1 -v1xw1 -v1yw1 -v1zw1 … … … … … … … … … … …xwn ywn zwn 1 0 0 0 0 -unxwn -unywn -unzwn 0 0 0 0 xwn ywn zwn 1 -vnxwn -vnywn -vnzwnm=m34u1m34v1 …m34unm34vn（7）

其中，m=[m11 m12 m13 m14 m21 m22 m23 m24 m31 m32 m33]T。

變換矩陣M由4個內部參數和6個外部參數（3個獨立旋轉矩陣參數，3個獨立平移參數）組成，即M矩陣應由10個獨立的變量確定。但M為3×4的矩陣，共有12個參數。對于式（5）來說，M乘以任何不為零的常數都不會影響（xw，yw，zw）與（u，v）的關系，所以可以指定m34=1，故M矩陣由11個參數確定。可見這11個參數并非相互獨立，存在著變量之間的約束關系，但用式（7）求解這些參數時，并沒有考慮這些參數之間的約束關系，因此在數據存在誤差的情況下，計算結果肯定是有誤差的，且誤差沒有按照參數之間的約束關系進行分配，特別是在分解內外部參數時，誤差顯得尤為突出。

為此，本文提出一種基于參數約束關系的線性標定法，通過考慮參數之間的約束關系來提高參數標定的精度。具體計算過程如下：令式（7）兩邊同除以m34，變換后公式縮寫為Kd=U。其中，K為式（7）左邊2n×11的矩陣；d=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11]T，d1，…，d11分別表示；U=[u1 v1 … un vn]T。然后利用最小二乘法求解矩陣d為：

d=（KTK）-1KTU（8）

由式（4）、（5）可得：

?琢xR1T+u0R3T ?琢xtx+u0tz?琢yR2T+v0R3T ?琢yty+v0tz R3T tz=M1T m14M2T m14M3T m14（9）

其中，M1T ，M2T ，M3T分別是矩陣M的第1、2、3行的前3個元素；R1=[r11 r12 r13]T，R2=[r21 r22 r23]T，R3=[r31 r32 r33]T，R=R1T R2TR3T，并且它們之間滿足如下關系：

‖R1‖2=r112+r122+r132=1（10）

‖R2‖2=r212+r222+r232=1（11）

‖R3‖2=r312+r322+r332=1（12）

R1TR2=r11r21+r12r22+r13r23=0（13）

R2TR3=r21r31+r22r32+r23r33=0（14）

R3TR1=r11r31+r12r12+r23r33=0（15）

由式（9）可以看出M3=R3，所以‖M3‖2=1，即（d92+d102+d112）m342=1，則可以求出：

m34=16）

則m11=d1m34，m12=d2m34，m13=d3m34，m14=d4m34，m21=d5m34，m22=d6m34，

m23=d7m34，m24=d8m34，m31=d9m34，m32=d10m34，m33=d11m34。

變換矩陣M的各個參數求解如下：

R3=M3tz=m34u0=（?琢xR1T+u0R3T）R3=M1TM3v0=（?琢yR2T+v0R3T）R3=M2TM3?琢x=|M1×M3|?琢y=|M2×M3|R1=

綜上所述，由6個以上點就可以計算出變換矩陣M，并且在求解內外參數時利用了單位矩陣的6個約束關系，對攝像機內外參數進行分配，即便數據存在誤差，誤差也能按照各參數之間的約束關系分配，從而提高了標定精度。

本文基于理想的攝像機小孔模型，對目前攝像機的線性標定法進行了分析。針對以往線性標定中參數并非相互獨立而無法準確計算出攝像機內外參數的問題，提出了一種基于參數時間約束關系的線性標定法。該方法充分考慮了攝像機標定參數之間的約束關系，利用約束關系計算攝像機內外部參數，使數據誤差能夠按各參數之間的約束關系進行分配，從而可以提高攝像機標定的精度。

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