原文來自公眾號：工程師看海

香濃采樣定理或者說奈奎斯特采樣定理告訴我們，要以信號頻率2倍以上的采樣率對該信號進(jìn)行采樣，否則會(huì)出現(xiàn)頻率混疊，比如對1Khz信號進(jìn)行采樣的話，采樣率要高于2Ksps，

采樣定理與傅里葉變換的具體原理請見往期文章：

https://www.dianyuan.com/eestar/article-1734.html

這東西看似簡單，實(shí)際可以深度挖掘出很多內(nèi)容，有助于指導(dǎo)我們進(jìn)行硬件電路、軟件算法的設(shè)計(jì)。

那么問題來了，如果面試官問：采樣率低于信號的頻率，我們可以采集到信號嗎？你該怎么回答呢？

說可以采到不行，說不能采到也不行，這個(gè)問題里有隱藏的陷阱，稍不注意，就容易進(jìn)坑，就中了面試官的套了。

今天咱們好好聊聊，看看采樣定理與傅里葉變換如何指導(dǎo)我們設(shè)計(jì)硬件的。

能采的到？

接著上文，采樣定理除了告訴我們，采樣率要超過信號帶寬的2倍之外，還告訴我們，連續(xù)的周期信號，經(jīng)過采樣離散化后，會(huì)按照采樣頻率，進(jìn)行周期性變化，比如下圖，信號的帶寬為fa，采樣頻率是fs，采樣離散化后的結(jié)果，就是fa這個(gè)信號，在頻譜上，以fs為頻率周期進(jìn)行周期性延拓，采樣回的信號，就變成了0±fa、fs±fa、2fs±fa、3fs±fa。。。

重構(gòu)采樣后的信號最直接粗暴的方法，是將各個(gè)采樣點(diǎn)依次連接，作為最終結(jié)果。

上面說的是正常采樣或者過采樣，下面我們低采樣率的情況，為簡化分析，我們只介紹單邊頻譜。按照前文理論的介紹，采樣后的信號按照fs進(jìn)行周期性延拓，比如下面在頻譜上的介紹，采樣率fs=900 sps，信號的頻率fa=1000Hz，fs不滿足剛開始提到的采樣定理要求，而且fs，采樣后的信號按照fs進(jìn)行周期延拓后，如下圖所示，得到了0+(fa-fs)、fs+(fa-fs)、2fs+(fa-fs)、3fs+(fa-fs)。。。離散序列，在采樣率fs頻帶內(nèi)，1khz原始信號就變成了100hz。<>

我們畫出具體的波形圖，會(huì)更容易理解，下圖黑色實(shí)線是原始的1Khz信號，--虛線是以采樣率900sps進(jìn)行采樣后的波形，*是以采樣率500sps進(jìn)行采樣后的波形。可以看到，以低采樣率對高頻率信號進(jìn)行采樣，是采集到了信號的，只是會(huì)失真。同時(shí)，如果采樣率小于信號頻率，并且成整數(shù)倍，那么就采集不到交流信號，比如下圖*曲線所示。

對上圖信號進(jìn)行FFT分析，--虛線是以采樣率900sps進(jìn)行采樣后的波形，*是以采樣率500sps進(jìn)行采樣后的波形。從頻率來看，結(jié)果也是和上文分析一致的，實(shí)際上1000Hz的信號，900 sps采樣后，變成了100Hz。

采集不到？

有同學(xué)說，為什么實(shí)際試驗(yàn)時(shí)低速采樣率卻采集不到高頻信號？那是因?yàn)椋盘栐谶M(jìn)入ADC之前，被進(jìn)行了低通濾波，超過fs的高頻成分已經(jīng)被濾除了。

如下圖所示，紅色虛線之外的信號被抑制掉，因此本應(yīng)該出現(xiàn)在fa-fs的頻率成分就并沒有出現(xiàn)，因此我們在設(shè)計(jì)電路時(shí)，有效的低通濾波器將會(huì)非常重要，這是指導(dǎo)硬件設(shè)計(jì)的重要原則之一。

怎么才能采到？

恰好我手里有一塊某公司的采集卡，帶寬是30Mhz，最大采樣率是100Msps，那我的理解就是超過30Mhz的信號是采集不到的，應(yīng)該是通過硬件、軟件的手段抑制的，換句話說，硬件對30Mhz以內(nèi)的信號衰減有限。

我們就基于我的猜測，以10Msps的速率采集11Mhz的信號，看看結(jié)果如何。

11Mhz的信號使用10Msps的采樣率，那么根據(jù)前文的分析，采集的后的信號頻率應(yīng)該是1Mhz，時(shí)間波形見下圖，F(xiàn)FT變換后明顯看到1Mhz的頻率成分，11Mhz的信號經(jīng)過10Msps采樣后變成了1Mhz，與前文的分析基本一致。

那么同樣的，10Ksps采樣率，采集30Khz的信號會(huì)有什么結(jié)果呢？根據(jù)前文的分析，整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，應(yīng)該采集不到，實(shí)際測試結(jié)果如下圖，頻譜上沒有看到有效頻率信息。

這里我可以再額外追加一個(gè)問題，我這個(gè)帶寬30Mhz的設(shè)備，100Msps采樣時(shí)，可以采集到110Mhz的信號嗎？

應(yīng)該怎么回答？

對于本文開篇的問題，如果面試官問：采樣率低于信號的頻率，我們可以采集到信號嗎？你該怎么回答呢？

本來是想直接寫答案的，后來想想，相比于結(jié)果，分析過程更重要，思路我已經(jīng)寫的很清晰了，歸納總結(jié)，就交給各位同學(xué)啦。

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