相機(jī)畸變是影響相機(jī)標(biāo)定精度的關(guān)鍵因素。由于畸變補(bǔ)償不準(zhǔn)確，傳統(tǒng)的標(biāo)定方法不能滿足要求較高標(biāo)定精度的測(cè)量系統(tǒng)的要求。本文提出了一種基于迭代畸變補(bǔ)償算法的新型相機(jī)標(biāo)定方法。相機(jī)的初始參數(shù)由全場(chǎng)相機(jī)像素和相位標(biāo)靶上的相應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)定。提出了一種補(bǔ)償畸變的迭代算法。為了提高相位標(biāo)靶的精度，還提出了一種二維擬合和插值的方法。與傳統(tǒng)的標(biāo)定方法相比，該方法不依賴于畸變數(shù)學(xué)模型，并且在復(fù)雜的畸變條件下是穩(wěn)定

1 引言

相機(jī)標(biāo)定是光學(xué)三維測(cè)量的第一步，也是最重要的一步，如立體視覺(jué)、條紋投影技術(shù)和偏度測(cè)量。一般有兩個(gè)方面影響照相機(jī)標(biāo)定的精度。一是所選相機(jī)模型的準(zhǔn)確性。另一個(gè)是特征點(diǎn)在世界坐標(biāo)系的定位精度。相機(jī)畸變是影響相機(jī)模型精度的關(guān)鍵因素。針孔模型通常用于描述一般的成像過(guò)程，它是世界上的一個(gè)三維點(diǎn)與相機(jī)中相應(yīng)的二維圖像之間的線性投影。然而，由于相機(jī)的畸變，真實(shí)的成像過(guò)程是一個(gè)非線性投影。相機(jī)鏡頭畸變可分為徑向畸變、偏心畸變和薄棱鏡畸變。通常采用基于參數(shù)的方法來(lái)補(bǔ)償透鏡畸變。Alvarez等人提出了一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)研究變焦鏡頭的畸變變化。桑塔納-Cedres等人研究了通過(guò)最小化線重投影誤差來(lái)估計(jì)畸變模型。傳統(tǒng)的標(biāo)定方法使用帶有畸變參數(shù)的無(wú)限高階多項(xiàng)式來(lái)表示由不同源引起的畸變。首先對(duì)初始畸變參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，然后采用基于最小二乘法的優(yōu)化算法對(duì)其他攝像機(jī)參數(shù)的畸變參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。由于輸入的精度對(duì)迭代優(yōu)化的嚴(yán)格性起著重要的作用，因此攝像機(jī)標(biāo)定的精度高度依賴于初始畸變參數(shù)的精度。此外，真實(shí)的畸變是由于復(fù)雜鏡頭系統(tǒng)的累積效應(yīng)、相機(jī)幾何誤差和圖像傳感器的不完美形狀的結(jié)果；因此，需要一個(gè)具有足夠參數(shù)的模型來(lái)模擬任何可能的畸變。然而，流行的常規(guī)標(biāo)定只需要采用具有徑向畸變和偏心畸變的部分偏真參數(shù)的畸真模型；實(shí)驗(yàn)表明，一個(gè)更精細(xì)的模型將不會(huì)幫助提高精度，但也會(huì)導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定性。因此，傳統(tǒng)方法的應(yīng)用畸變數(shù)學(xué)模型不能完全匹配實(shí)際畸變，也限制了標(biāo)定精度。為了解決這一問(wèn)題，研究了非參數(shù)畸變補(bǔ)償方法。Thirthala［16］等人提出了一種利用多焦張量恢復(fù)徑向畸變的方法；然而，這種方法是基于畸變中心在圖像中心的假設(shè)，這通常不是一個(gè)可靠的假設(shè)。Hartley等人提出了一種只考慮徑向畸真的無(wú)參數(shù)標(biāo)定方法。Ryusuke等人提出了一種利用二元結(jié)構(gòu)光補(bǔ)償鏡頭畸變的方法，但該方法不能標(biāo)定相機(jī)的內(nèi)參。因此，需要研究一種靈活、穩(wěn)定的方法來(lái)標(biāo)定相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)、外部參數(shù)和畸變。

通常，使用一組具有已知世界坐標(biāo)的二維或三維控制點(diǎn)或特征點(diǎn)作為標(biāo)定過(guò)程的輸入數(shù)據(jù)。與3D靶標(biāo)相比，棋盤格、平面上的正方形和圓形等二維圖案被頻繁使用，因?yàn)樗鼈円子谥圃旌吞幚怼＝陙?lái)，一種二維相位靶標(biāo)由于其高精度的特征檢測(cè)、大量任意提供控制點(diǎn)和全自動(dòng)過(guò)程等優(yōu)點(diǎn)而被研究為傳統(tǒng)平面靶標(biāo)的替代品［21，22］。Xue等人提出了一種基于同心圓光柵和楔形光柵正交消失點(diǎn)標(biāo)定的相機(jī)標(biāo)定方法［23］。Liu等人引入了交叉條紋圖案作為相機(jī)標(biāo)定的模型平面。Ma等提出了一種以條紋圖案組作為標(biāo)定靶標(biāo)的特征提取方法。此外，由于從正弦條紋中獲得的相位對(duì)失焦圖像［26，27］的影響較小，因此相位靶標(biāo)可以有效地標(biāo)定對(duì)焦深度小、工作距離長(zhǎng)的相機(jī)。Schmalz等將相位靶標(biāo)與經(jīng)典平面靶標(biāo)進(jìn)行了比較，以顯示相位靶標(biāo)的優(yōu)越性。

為了提高標(biāo)定精度，研究了減小相位靶標(biāo)定位誤差的方法。Schmalz等人［21］提出了一種基于四個(gè)相鄰像素的平滑相位值的擬合方法。Huang等［22］應(yīng)用加窗多項(xiàng)式擬合技術(shù)對(duì)相位靶標(biāo)進(jìn)行了優(yōu)化，并將結(jié)果與線性插值、雙二次擬合和雙二次擬合進(jìn)行了比較。關(guān)于原理和計(jì)算過(guò)程的細(xì)節(jié)很少。實(shí)驗(yàn)采用窗口大小為200×200像素的窗口雙邊緣擬合。然而，并沒(méi)有提供選擇窗口大小的原因以及窗口大小對(duì)結(jié)果的影響程度。雖然實(shí)現(xiàn)了顯著的重投影精度，但窗口大小的可行性仍需進(jìn)行討論。上述技術(shù)主要研究了標(biāo)定靶標(biāo)的設(shè)計(jì)和特征檢測(cè)定位精度的提高。然而，目前還沒(méi)有關(guān)于提高相機(jī)畸變的補(bǔ)償精度和優(yōu)化具有相位靶標(biāo)的相機(jī)模型的研究。

本文提出了一種基于迭代畸變補(bǔ)償算法的新型相機(jī)標(biāo)定方法。利用全場(chǎng)攝像機(jī)像素和相位靶標(biāo)上的相應(yīng)點(diǎn)來(lái)計(jì)算標(biāo)定參數(shù)。可以得到基于線性投影的真實(shí)像素與重投影像素之間的畸變所引起的偏差。通過(guò)補(bǔ)償偏差，可以得到一個(gè)像素的校正坐標(biāo)。利用黎文伯格-馬夸特算法，通過(guò)最小化校正后的坐標(biāo)和重投影像素之間的差值，迭代優(yōu)化標(biāo)定參數(shù)。為了提高世界坐標(biāo)的定位精度，提出了擬合技術(shù)和應(yīng)用于相位靶標(biāo)的窗口大小的可行性，以補(bǔ)償任何相位誤差。

02 原理和方法

2.1 相位靶標(biāo)

圖1 相位靶標(biāo)；（a） 垂直條紋圖案；（b） 水平條紋圖案; （c） 垂直相位圖; （d） 水平相位圖。

本文使用了一個(gè)相位靶標(biāo)來(lái)輔助本文提出的標(biāo)定方法（如圖1所示）。除了在引言中所述的相位靶標(biāo)的優(yōu)點(diǎn)外，使用相位靶標(biāo)的主要原因是它是一個(gè)密集和連續(xù)的靶標(biāo)，并且滿足了所提出的畸變補(bǔ)償算法的要求。所提出的畸變補(bǔ)償方法需要計(jì)算真實(shí)像素與重投影像素之間的偏差。當(dāng)使用相位靶標(biāo)時(shí)，攝像機(jī)像素可以根據(jù)連續(xù)的相位圖，根據(jù)不同的標(biāo)定姿態(tài)找到相應(yīng)的世界點(diǎn)。雖然使用了傳統(tǒng)的二維標(biāo)定板（如棋盤），但由于相同的相機(jī)像素由于特征點(diǎn)有限且離散，無(wú)法發(fā)現(xiàn)不同標(biāo)定姿態(tài)中的相應(yīng)世界點(diǎn)，因此所提出的標(biāo)定方法將會(huì)失敗。兩組相互垂直的移相條紋圖案按順序顯示在液晶顯示器（LCD）屏幕上，這些顯示的圖案由照相機(jī)從不同的視點(diǎn)捕捉到。在應(yīng)用相移法和相位展開(kāi)法［28–30］后，得到了兩個(gè)相互垂直的絕對(duì)相位圖，如圖1所示。如果已知LCD像素間距的大小 和每個(gè)條紋周期的LCD像素?cái)?shù) ，則一個(gè)攝像機(jī)像素可以根據(jù)公式（1）和（2）的相位值唯一地定位其在世界坐標(biāo)系中的相應(yīng)的物理位置。

2.2 基于迭代畸變補(bǔ)償算法的標(biāo)定

圖2 我們方法的標(biāo)定過(guò)程

圖3 標(biāo)定姿勢(shì)

所提出的相機(jī)標(biāo)定過(guò)程如圖2所示。兩組正交條紋圖案依次顯示在液晶屏幕上。兩組正交條紋圖案依次顯示在液晶屏幕上。在整個(gè)標(biāo)定過(guò)程中，會(huì)捕獲任意 幅LCD姿態(tài)的圖像，如圖3所示。根據(jù)每個(gè)LCD姿態(tài)，選擇在CCD（電荷耦合器件）平面上均勻分布的 k 個(gè)攝像機(jī)像素，對(duì)其進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定。所選的像素可以是全像素，也可以是具有相同間隙的采樣像素，以提高計(jì)算速度。根據(jù)公式（1）和（2）的相位值得到相應(yīng)的世界坐標(biāo)。根據(jù)方程（3），可以得到一個(gè)線性投影 ：

其中是相機(jī)像素坐標(biāo)， 是對(duì)應(yīng)的世界坐標(biāo)。A是照相機(jī)的內(nèi)參， 是相機(jī)主點(diǎn)， 是圖像在 方向的縮放系數(shù)。 是剛體變換矩陣從世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系。讓我們用 表示旋轉(zhuǎn)矩陣 的第 列，用 表示線性投影 的第 列。對(duì)于已知的 、 是正交的，可以得到對(duì)內(nèi)部參數(shù)的兩個(gè)約束條件：

由于一個(gè)標(biāo)定姿態(tài)可以根據(jù)公式（4）提供兩個(gè)約束條件，因此內(nèi)部參數(shù)A可以從至少三個(gè)姿態(tài)中計(jì)算出來(lái)。一旦已知A，外部參數(shù) 可以根據(jù)公式（5）計(jì)算：

在線性投影模型下，對(duì)于一個(gè)相機(jī)像素 ，畸變會(huì)導(dǎo)致真實(shí)坐標(biāo)和重投影 的偏差：

其中： 是像素點(diǎn) 的相應(yīng)世界坐標(biāo)。由于畸變對(duì)于固定焦距的鏡頭和短工作距離的相機(jī)是系統(tǒng)誤差，因此對(duì)于不同標(biāo)定姿態(tài)的偏差應(yīng)該是固定值。通過(guò)根據(jù)公式7使用 個(gè)位姿的平均偏差來(lái)補(bǔ)償畸變，校正后的坐標(biāo) 可以得到精確匹配的線性模型：

直到現(xiàn)在，內(nèi)參A的初始值，外參 和外參 ，和畸變偏差 ，然后通過(guò)迭代循環(huán)重新計(jì)算和優(yōu)化，用黎文堡-馬夸特算法最小化以下函數(shù)：

2.3 相位標(biāo)靶誤差補(bǔ)償算法

圖4 相位圖的誤差分析。（a）聚焦條紋圖案；（b）表示相位圖截面與其擬合平面之間的差值；（c）離焦條紋圖案。

當(dāng)相位靶標(biāo)放置在相機(jī)的聚焦深度時(shí)，捕獲的條紋圖案出現(xiàn)可觀察的變形，如圖4a所示。變形來(lái)自于液晶屏幕上記錄的像素網(wǎng)格，以及由相機(jī)像素和液晶像素之間的干涉所產(chǎn)生的摩爾條紋。取計(jì)算得到的相位圖中間的一個(gè)小區(qū)域，從相位值與其擬合平面的差值可以看出影響，如圖4b所示。為了提高相位靶標(biāo)的定位精度，保證后續(xù)標(biāo)定過(guò)程的適當(dāng)輸入，研究了一種噪聲補(bǔ)償算法來(lái)對(duì)相位靶標(biāo)進(jìn)行細(xì)化。作為［19］中使用的虛擬散焦技術(shù)，可以應(yīng)用于捕獲的條紋模式。然而，很難確定過(guò)濾器的大小。消除這種影響的一種靈活的方法是，通過(guò)移動(dòng)靶標(biāo)位置或調(diào)整相機(jī)的對(duì)焦，將相位靶標(biāo)定位在相機(jī)的失焦位置，如圖4c所示。

圖5 擬合原理和插值方法。

由于理論上得到的絕對(duì)相位圖是連續(xù)且光滑的，因此可以采用擬合和插值的方法對(duì)相位數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，如圖5所示。對(duì)于如圖5所示的相機(jī)像素，其原始相位用圖5所示的綠點(diǎn)表示。在相面上的點(diǎn)附近，相面和切面之間只有一個(gè)很小的差異。因此，可以使用最小二乘算法將一個(gè)相位平面（如圖5中所示的灰色平面）與相鄰的L/2像素的相位值（藍(lán)點(diǎn)）進(jìn)行擬合。在擬合平面的基礎(chǔ)上，根據(jù)基于三次多項(xiàng)式插值的擬合平面對(duì)原始相位進(jìn)行平滑，可以計(jì)算出插值的相位值（紅點(diǎn)）。使用更大的擬合窗口（L）可以更有效地消除誤差，提高相位數(shù)據(jù)的精度。但根據(jù)方程（1）-（3），得到的相圖與相機(jī)像素坐標(biāo)（u，v）之間的關(guān)系可以通過(guò)方程（9）和（10）得到，它們不是線性方程，因此捕獲的相圖是一個(gè)曲線曲面。

其中是 的逆矩陣的元素。因此，如果應(yīng)用的窗口太大，窗口中的斜率數(shù)據(jù)會(huì)有明顯的變化，計(jì)算點(diǎn)的調(diào)整會(huì)不準(zhǔn)確。

圖6 重投影誤差的變化、旋轉(zhuǎn)矩陣的誤差和平移矩陣的誤差以及窗口大小的變化。

為了優(yōu)化擬合窗口的大小，我們進(jìn)行了一個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)，如圖6所示。隨機(jī)相位誤差是仿真過(guò)程中唯一的誤差源。隨著窗口大小從0（沒(méi)有應(yīng)用擬合和插值）增加到5個(gè)像素，重投影誤差的均方根（均方根）顯著降低（如紅線所示）。在這個(gè)過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)矩陣R的誤差和平移矩陣t的誤差也都減少了（分別由黑線和綠線所示）。然而，當(dāng)窗口大小從5像素增加到60像素時(shí)，雖然重投影誤差的RMS從0.0016像素降低到0.000172像素，但旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣的誤差都增加了。仿真結(jié)果表明，5個(gè)像素是一個(gè)合適的擬合窗口大小，可以降低相位噪聲，且不會(huì)過(guò)度調(diào)整原始相位值。

03 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和討論

3.1 仿真研究

仿真驗(yàn)證了所提出的非參數(shù)畸變補(bǔ)償方法。模擬相機(jī)圖像的大小為 ，主點(diǎn)在像素 處， 軸的尺度系數(shù)分別為3543、3522像素。徑向畸變 ，偏心畸變（），薄棱鏡畸變 通過(guò)公式11獲取，其中、，畸變的中心為： 像素點(diǎn)。

圖7 在像素坐標(biāo)上的模擬畸變。（a） 徑向畸變 （b） 偏心畸變 （c） 薄棱鏡畸變 （d） 由徑向畸變、偏心畸變和薄棱鏡畸變引起的整體畸變。

其中： 是理想的像素。圖7顯示了模擬的理想像素和畸變像素。8個(gè)位姿的位姿被仿真，其中：

圖8 與模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)定結(jié)果。（a）八個(gè)標(biāo)定點(diǎn)的重投影誤差；（b）像素坐標(biāo)的重投影誤差。不同的標(biāo)定姿勢(shì)用八種顏色來(lái)區(qū)分。

在相位標(biāo)靶中加入從0到0.005弧度的隨機(jī)噪聲。圖8顯示了所提出的標(biāo)定方法的重投影誤差。結(jié)果表明，該標(biāo)定方法能有效地補(bǔ)償復(fù)雜畸變?cè)串a(chǎn)生的相機(jī)畸變。

3.2 實(shí)驗(yàn)研究

圖9 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

圖 10. 以 11 種顏色區(qū)分的 11 種標(biāo)定姿勢(shì)下的相機(jī)像素畸變。為了在圖中清楚說(shuō)明，僅顯示了部分像素并且矢量比例不同。（b） 是（a）放大倍數(shù)

為了驗(yàn)證提出的方法，基于Lumenera CCD相機(jī)（Model Lw235M）進(jìn)行了標(biāo)定實(shí)驗(yàn)。相機(jī)傳感器的分辨率是 ，相機(jī)鏡頭是一個(gè)35毫米固定焦距的原始鏡頭。一個(gè)CCD相機(jī)（戴爾E151 Fpp，分辨率為 ，飛利浦，上海，中國(guó)）用于相位靶標(biāo)。一個(gè)CCD像素塊的大小為0.297mm。靶標(biāo)被放置在11種不同的姿勢(shì)上。采用八步相移算法和頻率優(yōu)化算法得到了絕對(duì)相位圖［19，20］，然后使用 的擬合窗口對(duì)相位圖進(jìn)行平滑、插值。每10個(gè)相機(jī)像素被選擇形成一個(gè)大小為161×121的網(wǎng)格作為輸入，用世界坐標(biāo)中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)標(biāo)定相機(jī)。線性投影模型下所選像素的畸變?nèi)鐖D10所示。

圖11 標(biāo)定結(jié)果采用兩種標(biāo)定方式。

（a） 使用擬合方法前用常規(guī)方法標(biāo)定點(diǎn)的重投影誤差；

（b） 在使用擬合方法之前，用常規(guī)方法在像素坐標(biāo)方面的重投影誤差；

（c） 使用擬合方法后與常規(guī)方法在像素坐標(biāo)方面的重投影誤差；

（d） 在使用擬合方法之前，使用所提出方法的標(biāo)定點(diǎn)的重投影誤差；

（e） 在使用擬合方法之前，用所提出的方法在像素坐標(biāo)方面的重投影誤差；

（f） 使用擬合方法后所提出的方法在像素坐標(biāo)方面的重投影誤差；不同的標(biāo)定姿勢(shì)用 11 種顏色區(qū)分。

由于張正友標(biāo)定法［1］和相應(yīng)的工具箱在實(shí)際應(yīng)用中非常普遍，因此我們的方法與張正友方法對(duì)比在圖11所示。張的方法可以分為四個(gè)步驟：（1）發(fā)現(xiàn)特征點(diǎn)和相機(jī)像素之間的對(duì)應(yīng)位置；（2） 根據(jù)針孔模型計(jì)算相機(jī)參數(shù)和外參數(shù)的初始值；（3） 考慮基于數(shù)學(xué)模型的畸變補(bǔ)償；（4）利用Levenberg-Marquardt算法優(yōu)化相機(jī)初始參數(shù)、外參數(shù)和畸變參數(shù)。可以從張的文章 ［1］ 中使用的棋盤或其他標(biāo)定靶標(biāo)中檢測(cè)到特征點(diǎn)。為避免不同標(biāo)定靶標(biāo)提取精度的差異，采用相同的相機(jī)像素和對(duì)應(yīng)的物理點(diǎn)對(duì)兩種方法進(jìn)行測(cè)試。使用所提出的方法，重投影誤差的 RMS 在應(yīng)用擬合方法之前為 0.025 像素，在應(yīng)用擬合方法之后為 0.015 像素。相比之下，傳統(tǒng)方法的重投影誤差的 RMS 在應(yīng)用擬合方法之前為 0.033 像素，在應(yīng)用擬合方法之后為 0.025 像素，分別比所提出的方法差 1.3 倍和 1.6 倍。

提出了一種基于全場(chǎng)相機(jī)像素和密集相位靶標(biāo)的迭代畸變補(bǔ)償算法的相機(jī)標(biāo)定方法。為了提高相位值的定位精度，研究了散焦、擬合和插值技術(shù)。在不依賴畸變數(shù)學(xué)模型的情況下，所提出的標(biāo)定方法可以獲得逐像素的畸變和較高的標(biāo)定精度。下一步將包括在偏轉(zhuǎn)測(cè)量系統(tǒng)中應(yīng)用的建議標(biāo)定方法。

如果將所提出的方法與其他基于非參數(shù)的畸變補(bǔ)償方法進(jìn)行比較，那將是更可取的。然而，在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中有幾個(gè)不同的因素需要考慮：（1）很難獲得這些方法的開(kāi)放代碼；（2） 其中一些方法基于特定的標(biāo)定靶標(biāo)，因此無(wú)法保證對(duì)比實(shí)驗(yàn)具有相同的標(biāo)定輸入。事實(shí)上，本文的仿真研究可以證明該方法的優(yōu)越性，因?yàn)槠渌腔趨?shù)的方法無(wú)法處理偏心畸變和薄棱鏡畸變，或者無(wú)法獲得內(nèi)部參數(shù)相機(jī) ［18］。該仿真研究表明，所提出的方法可以有效地標(biāo)定具有復(fù)雜畸變條件的相機(jī)。基于這一點(diǎn)，可以得出結(jié)論，該方法優(yōu)于其他基于非參數(shù)的畸變補(bǔ)償方法。

審核編輯：郭婷