相位噪聲是VCO的核心指標，衡量了輸出信號頻譜的純凈程度。研究相位噪聲的來源和形成機制，對VCO設計與優化有著重要的意義。當前學術界有若干種相位噪聲分析模型并存，如Leeson的線性時不變模型，Hajimiri的ISF模型等等，他們的切入角度和側重點各有不同，實際使用中也存在著各自的局限。本文簡要介紹一種新的相位噪聲分析方法，區別于常見的理論模型，該方法提供了一種分析VCO相位噪聲的新視角。

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振蕩過程中的牽引現象

相位噪聲的形成機制非常復雜，但是總體上都可以概括為振蕩過程被牽引的產物。LC振蕩電路進入穩態振蕩過程之后，是一個典型的非線性時變系統，此時電路中的噪聲、干擾以及某些非線性參數都會對輸出信號產生影響，造成信號相位的隨機微小擾動，相位噪聲也就由此產生，振蕩器中噪聲轉化為相位噪聲的過程稱為上變頻（up-conversion）。

不同理論模型對上變頻的描述也各有不同，例如大名鼎鼎的Hajimiri模型就是將脈沖靈敏度函數（ISF）作為橋梁，從時域角度闡述了這一過程。

如上圖，噪聲電流經過時變系統（ISF）轉化為信號的額外相移，再經過相位調制形成信號頻率附近的邊帶，即相位噪聲。具體的推導過程本文不再贅述，可以參看文獻 ^[1]^ 。

02

弱注入對振蕩信號的影響

與Hajimiri模型不同，廣義阿德勒方程（generalized Alders equation）則是從頻域出發對上變頻過程進行分析?？紤]一個理想的振蕩電路，受到一正弦注入電流的影響，假設注入電流的幅度和相位分別為in和θ n ，如下圖

廣義阿德勒方程給出了振蕩信號與注入電流之間的關系 ^[2]^ ：

其中是振蕩頻率，是振蕩電壓信號的瞬時相位，是自由振蕩電流，Q是諧振器的品質因數。由此可見，信號的相位變化主要與品質因數，注入電流與自由振蕩電流的比值有關。解這一微分方程即可得出特定強度的注入電流造成的相位變化。

03

具體電路分析

根據上文的結論，要確定振蕩信號的相位變化，需要得到工作頻率，品質因數，自由振蕩電流和注入電流強度等參數。這些參數在確定了具體電路形式之后都能方便地取得，以常見的交叉耦合振蕩器為例：

如果偏置電流為I，根據電路性質，自由振蕩電流的強度應為4I/π，注入電流為LC損耗電阻產生的熱噪聲。等效電路為：

考慮振蕩頻率附近頻偏為的噪聲電流，應用廣義阿德勒方程，可知：

如果忽略噪聲的相位，那么振蕩信號的額外相位滿足以下微分方程：

解之，得

功率譜密度為

根據相位噪聲的定義不難得出：

該相位噪聲的形式與Leeson方程的結論完全一致 ^[3]^ ，證明了廣義阿德勒方程研究相位噪聲的可行性。

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小結

廣義阿德勒方程的優點主要體現在兩方面，第一，它從單頻點的注入電流入手分析相位噪聲，這一切入點的優勢在于，不需要針對不同性質的噪聲單獨建立模型。眾所周知，振蕩電路中存在著各種各樣的噪聲，頻率特性也各不相同。

上圖給出了VCO相位噪聲譜的一般規律，研究結果表明，第一區的相位噪聲主要由管子閃爍噪聲產生，第二區則由溝道噪聲及熱噪聲轉化而來。此外，非線性電容、AM-PM轉換等現象也會增加相位噪聲。傳統理論模型中需要對以上所有的相位噪聲來源分別進行分析，計算量較高。而廣義阿德勒方程則能夠將噪聲拆解成無窮多個微小注入電流的組合統一計算，增強了適用性。

第二，廣義阿德勒方程基于注入電流分析VCO的噪聲行為，這種思路能夠方便地推廣到QVCO的場合。文獻 ^[4]^ 使用該方法，對QVCO的相位噪聲、相位誤差、工作模式以及幅度穩定性進行了系統的理論分析，為電路設計指明了方向。