歷史

事實(shí)上，我們需要穿梭回 2500 年前，從著名的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯開始說起。

畢達(dá)哥拉斯有一項(xiàng)鮮為人知的發(fā)現(xiàn)：如果用同樣的力度撥動(dòng)兩根材質(zhì)相同的繩子，當(dāng)兩根繩子的長度比例處于整數(shù)倍關(guān)系時(shí)發(fā)出的合音會(huì)比較悅耳。

打比方說，如果一根繩子的長度是另外一根繩子的一半（1：2 的關(guān)系）的話，撥動(dòng)兩根繩子產(chǎn)生的合音會(huì)很悅耳。如果長度關(guān)系是 2：3 的話效果也會(huì)不錯(cuò)。

但為什么兩根繩子長度為整數(shù)關(guān)系時(shí)更悅耳呢？為了回答這一問題，讓我們先假設(shè)有一根繩子，它的兩端是固定起來的，中間的部分可以任意震動(dòng)，該繩靜止時(shí)的狀態(tài)如圖 1 所示。

圖 1：靜止時(shí)的繩子

現(xiàn)在撥動(dòng)一下這根繩子正中間的位置，振動(dòng)時(shí)的狀態(tài)如圖 2：

圖 2：撥動(dòng)繩子中點(diǎn)位置產(chǎn)生的震動(dòng)

上面列舉的是一個(gè)「駐波」的例子。振動(dòng)過程中，繩子中點(diǎn)的位置會(huì)上下反復(fù)移動(dòng)。理想狀態(tài)下，以時(shí)間為橫軸，繩子移動(dòng)為縱軸，將繩子的震動(dòng)過程以圖案形式記錄下來就得到了正弦波（sine wave）（圖 3），我們將這一類圖案稱為「波形（waveform）」。

圖 3：正弦波的波形

波形完成一個(gè)周期的頻率被稱之為波形的基本頻率（fundamental frequency），在本例中也就是這根繩子震動(dòng)的基本頻率。

雖然繩子的兩頭被固定，震動(dòng)的方式和速度因此會(huì)受到限制，然而繩子被撥動(dòng)這一過程中，并非只會(huì)生成一個(gè)基本頻率。想象把你的手指放在繩子的正中間（整根繩子還是可以正常震動(dòng)），接著任意撥動(dòng)繩子的左半邊或者右半邊，這樣就得到了一個(gè)波長為原始長度 1/2 的駐波（如圖 4 所示）。

圖 4：1/2 波長的駐波

同理，如果把手指放在繩子長度 1/3 的位置就可以得到一個(gè)波長為原始長度 1/3 的駐波（如圖 5）。

圖 5：1/3 波長的駐波

以此類推，只要處于整數(shù)倍關(guān)系，駐波就可以被產(chǎn)生。這些駐波叫做基礎(chǔ)頻率的諧波（harmonics）。

如果你對(duì)駐波的數(shù)學(xué)原理有研究，你就會(huì)知道駐波可以被認(rèn)為是在同一根繩子上的兩個(gè)相反方向「行進(jìn)」中的波形合成起來構(gòu)成的（別問我為什么，否則這篇文章就永遠(yuǎn)也寫不完了）。通過這一原理不難可以得到這一結(jié)論：如果將波長減半，波形的頻率就會(huì)翻番，變成原始頻率的兩倍。類似地，如果將波長縮減至原始波長的三分之一，頻率將升高至原始頻率的三倍；四分之一則會(huì)升高至四倍，以此類推...之所以倍數(shù)必須是整數(shù)是因?yàn)槿绻阆胍胍粋€(gè)非整數(shù)倍的頻率變化那么繩子就不可以處于其零點(diǎn)位置，也就是繩子的兩端（不滿一個(gè)震動(dòng)周期），然而繩子的兩端是固定起來的，所以這種情況不可能存在。

當(dāng)然，不光只有震蕩的繩子遵循這一規(guī)則。以一個(gè)立方體房間中的空氣為例，為了不把這一假設(shè)搞得過于復(fù)雜，我們暫時(shí)不考慮家具等其他可能對(duì)條件產(chǎn)生影響的元素，空氣可以在房間中除了墻體、地板和天花板之外的任意位置自由振動(dòng)。換句話說，房間中空氣的震動(dòng)方式和繩子的震動(dòng)方式是完全一致的。房間本身也具備諧波頻率，這也就是普通房間會(huì)產(chǎn)生「共振」的原因。管風(fēng)琴也正是運(yùn)用了這一原理發(fā)聲，管風(fēng)琴的音管也就是簡單的諧波振蕩器。

震蕩產(chǎn)生的第一諧波（基礎(chǔ)頻率，記作 f）就是當(dāng)你聽到震蕩產(chǎn)生的聲音的時(shí)候感知的音高。第二諧波（也被稱為第一「泛音（overtone）」）的波長為基頻的一半，因此頻率為基頻的兩倍。如果單獨(dú)聆聽這一頻率，我們會(huì)感知到比基頻高正好一個(gè)八度的音高。

第三諧波的頻率為 3f（比基本高一個(gè)半八度，純五度關(guān)系），第四諧波的頻率為 4f，比基頻高兩個(gè)八度。接下來的三個(gè)諧波與第四諧波處于同一個(gè)八度，第八諧波比基頻高三個(gè)八度，以此類推...

通過這一規(guī)律我們就可以理解畢達(dá)哥拉斯的觀察。當(dāng)兩根繩子長度成 1:2 關(guān)系時(shí)，較短的那根繩子被撥動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的基頻與較長的那根的第二諧波頻率正好相等。當(dāng)兩根繩子長度成 2:3 關(guān)系時(shí)，較長的那根繩子的第三諧波與較短的那根的第二諧波頻率相等。換句話說，如果兩根繩子的諧波構(gòu)成彼此相似的話，我們聽到的聲音就會(huì)比較「悅耳」。

考慮這一點(diǎn)：當(dāng)你撥動(dòng)繩子的時(shí)候，你并不只會(huì)聽到單獨(dú)的一個(gè)諧波。如此純凈的頻率需要及其精準(zhǔn)的條件才可以產(chǎn)生，在自然界中幾乎無法達(dá)成。因此自然界中的所有聲音幾乎都是由一系列不同量度的諧波構(gòu)成的。這一諧波構(gòu)成決定聲音在任意時(shí)間片刻的波形，因?yàn)榇罅恐C波的存在，這類波形要比圖 3 中展示的正弦波復(fù)雜得多。把吉他采樣或者人聲錄音放在波形編輯器中你就可以看到真實(shí)的波形的復(fù)雜程度。

聲音的分析或者合成也因?yàn)檫@一點(diǎn)而極其困難，幾乎無法實(shí)現(xiàn)。但是一位名叫 Jean Baptiste Joseph Fourier 的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)任何周期運(yùn)動(dòng)，無論多么復(fù)雜，都可以通過一系列計(jì)算將其分解為諧波構(gòu)成。為了紀(jì)念這位數(shù)學(xué)家，這一程序被命名為傅立葉分析。除此之外，利用傅立葉分析還可以反推出一系列諧波的波形。

等等...波形決定諧波，諧波也可以決定波形？顯然，諧波與波形只是表達(dá)同一個(gè)概念的兩種不同方式。關(guān)鍵在于：音色取決于其諧波的數(shù)量與幅度；通過給定的一系列諧波可以合成波形。所以當(dāng)你看到合成器上的「方波（square）」或者「鋸齒波（sawtooth）」等波形，實(shí)際上是在說「這一設(shè)置可以生成一系列幅度為 x、y 與 z 的諧波」。

圖 6 ：鋸齒波的波形

讓我們把這一認(rèn)識(shí)運(yùn)用于合成器上。觀察圖 6 中的波形，這是一個(gè)理想的「鋸齒波」波形，其形狀與鋸齒相似而因此得名。撥動(dòng)繩子的時(shí)候絕對(duì)無法產(chǎn)生如此簡單的波形，但是幾乎每一臺(tái)合成器都可以產(chǎn)生類似的鋸齒波。

這一波形由一系列處于下列簡單關(guān)系的諧波構(gòu)成：

每個(gè)諧波均存在，且第 n 諧波的幅度等于基頻幅度的 n 分之一。

圖 7：鋸齒波的諧波頻譜

雖然這一關(guān)系聽起來已經(jīng)不是很簡單了，但相信我，還有其他波形比鋸齒波復(fù)雜得多。總之，圖 7 展示的是鋸齒波的前十個(gè)諧波，可以看到諧波的頻率越高振幅就越小。

但如果把這一系列的諧波截?cái)鄷?huì)怎么樣？比方說，（使用濾波器）把除了前五個(gè)諧波之外的其他高頻諧波全部移除。圖 8 展示的是經(jīng)過這一移除之后該波形的頻譜，圖 9 展示的是其對(duì)應(yīng)的波形。

圖 8 ：移除了高頻諧波之后的鋸齒波頻譜

圖 9 ：移除了高頻諧波之后的鋸齒波波形

可以看到，新的波形與鋸齒波的形狀相比有所不同。這一波形的聲音也和鋸齒波有所差別。但是這兩個(gè)波形的不同之處只是你將鋸齒波的高頻諧波過濾掉了，只剩了前幾個(gè)諧波。換句話說，你使用了一個(gè)「濾波器」「減去」了一部分諧波，從而創(chuàng)造了一個(gè)新的波形，也因此合成了一個(gè)新的聲音。