關鍵要點

使用正弦直方圖測試方法可以確定模擬數字轉換器（ADC）的參數，并優于線性斜坡直方圖測試方法。

正弦直方圖測試方法可以通過濾波器濾出正弦信號的諧波，提高線性度并增加測量精度。

正弦直方圖測試方法能夠更好地預測ADC在快速變化信號處理中的性能，并測量AC相關的錯誤。

摘要

本文介紹了如何使用正弦直方圖測試方法來確定模擬數字轉換器（ADC）的參數。相比線性斜坡直方圖測試方法，正弦直方圖測試方法具有更多的優勢，包括能夠濾除諧波和噪音，提高測量精度，以及能夠更好地預測ADC在快速變化信號處理中的性能。文章詳細介紹了正弦波的幅度分布、輸出直方圖的推導方法，以及如何使用正弦直方圖方法來確定ADC的非線性和DNL誤差。此外，文章還提供了有關非理想情況和閱讀推薦的內容，以幫助讀者更好地理解和應用正弦直方圖測試方法來評估ADC的性能。

本系列的上一篇文章探討了線性斜坡直方圖測試在確定模數轉換器 (ADC) 傳遞函數方面的有用性。這次，我們將重點關注正弦直方圖測試。我們將首先討論這種形式的直方圖測試相對于線性斜坡方法的優勢，然后通過方程式并使用正弦直方圖方法來確定假設的 4 位 ADC 的非線性。

為什么要進行正弦直方圖測試？

產生完美的線性斜坡輸入是線性斜坡直方圖測試的基本要求。輸入信號中的任何非線性都會直接增加測量誤差。這是一個問題，因為典型信號發生器產生的斜坡信號的線性度僅限于 8 至 10 位。

相比之下，我們可以濾除正弦信號的諧波，以獲得比信號發生器提供的更高的線性度。該濾波器還可以抑制信號上的大部分噪聲，以提高測量精度。對于斜坡輸入，濾波器不能用于降噪，因為它會改變波形的形狀。

在許多應用中，ADC 處理快速變化的信號。動態測試可以更好地預測此類應用中的 ADC 性能。高頻正弦輸入使我們能夠測量 ADC 轉換點，然后我們可以使用該轉換點來評估 ADC 的交流相關誤差（或動態性能）。雖然原則上我們可以使用高頻斜坡輸入來測量與交流相關的誤差，但在較高頻率下保持斜坡線性度變得更具挑戰性。

正弦波的幅度分布

在線性斜坡直方圖測試中，輸入分布是均勻的。由于理想的 ADC 具有生成任何代碼的相同概率，因此此功能使得分析斜坡直方圖方法的測試結果變得非常簡單。正弦波具有更復雜的分布，這反過來又使測試方程變得復雜。

讓我們推導出正弦波產生的樣本的概率密度函數 (PDF)，如下所示（圖 1）。

圖 1.示例 ADC 的正弦交流輸入。

波形對應于以下等式：

在哪里：

A是信號的幅度

B是信號的偏移誤差

f是正弦波的頻率 (f
=1t)。

考慮?T
4到 -T4范圍內信號的半周期。這段時間內VIN落在V1和V2之間的概率是多少？通過將這兩個值代入等式 1，我們可以創建以下等式，我們將使用該等式來查找相應的持續時間 (t2–t1)：

等式2。

如果我們將該值除以總持續時間 (T
2)，我們就得到VIN落在V1和V2之間的概率：

等式 3。

利用上面的表達式，我們可以推導出PDF函數。假設未知 PDF 函數為f(VIN)，其積分為F(VIN)。VIN位于V1和V2之間的概率如下：

等式 4。

如果我們比較公式 4 和公式 3，我們可以得出結論，PDF 函數的積分為：

等式 5。

最后，對該函數求導，得到PDF函數：

等式 6。

這些計算只考慮了信號的半個周期，但如果我們考慮一個完整的周期，我們仍然會得到公式 6。信號持續時間和VIN在V1至V2范圍內的持續時間都會加倍，因此我們最終會得到相同的結果。

在推導測試方程時，我們需要考慮到與斜坡輸入不同，正弦波不具有均勻分布。為了進行直觀演示，讓我們看一下圖 2 中的一對圖。該圖的頂部是公式 6 的圖；下半部分是公式 6 的圖。底部顯示正弦波的旋轉圖。

圖 2.上圖：公式 6 的結果。下圖：旋轉的正弦波。

該圖表明，正弦波過零附近的點出現的頻率低于波峰和波谷附近的點。這是因為正弦波的變化率在過零處達到最大值，在波峰和波谷處達到最小值。因此，零交叉附近的樣本不太可能出現。

導出輸出直方圖

現在我們已經生成了必要的方程，我們可以開始運行測試。我們將使用公式 3 為圖 3 中的理想 4 位 ADC 構建輸出直方圖。請注意，公式 4 對于我們的目的同樣有效 — 我只是選擇使用公式 3 來進行此特定練習。

圖 3.4 位理想 ADC 傳輸函數。

假設如下：

將振幅為A 的正弦波施加到 ADC。

正弦波沒有偏移誤差（B= 0）。

正弦波的幅度大于滿量程電壓。

因為正弦波兩端超出了ADC的輸入范圍，所以我們可以確定輸入執行了ADC的所有代碼。

如果V LE表示上述傳遞函數左側的第一個轉變點，我們可以使用以下等式來找到其他轉變點：

等式 7。

對應于代碼 0001 的直方圖 bin 的計數（用 H(1) 表示）與輸入落在由V LE和 (V LE+ 1 LSB )界定的區域中的概率成正比。應用公式 3，我們得到：

方程 8.

其中M T是捕獲的樣本總數。如果我們將方程 8 擴展到其他代碼，我們可以導出 bin n計數的方程：

方程 9.

為了驗證這個方程，我們將使用圖 3 中滿量程電壓為 1V 的傳遞函數來數字化具有以下特性的正弦波：

幅度 (A) = 1.1V

偏移誤差 (B) = 0

頻率 = 390.3 赫茲

我們將使用 40 kHz 的采樣率。請注意，選擇上述輸入頻率是為了不成為采樣頻率的分諧波；否則它是任意的。

通過收集 80,000 個樣本，我們生成了圖 4 中的直方圖。紅色曲線繪制了從公式 9 獲得的值。

圖 4.理想 ADC 的數字代碼出現次數直方圖。紅色曲線顯示公式 9 預測的值。

仿真結果與數學分析得到的值一致。為了幫助您更輕松地驗證這一點，我在下表中提供了計算摘要。請注意，V LE= –0.9375。

表 1.計算和模擬結果總結。

n	T[n]	sin-1(T[n] /A)	計算的H(n)	模擬H(n)
1	-0.8125	-0.8310	4819.7	4816
2	-0.6875	-0.6751	3970.3	3966
3	-0.5625	-0.5368	3523.3	3524
4	-0.4375	-0.4090	3252.7	3252
5	-0.3125	-0.2881	3080.7	3081
6	-0.1875	-0.1713	2973.5	2970
7	-0.0625	-0.0568	2914.2	2914
8	0.0625	0.0568	2895.3	2897
9	0.1875	0.1713	2914.2	2915
10	0.3125	0.2881	2973.5	2978
11	0.4375	0.4090	3080.7	3081
12	0.5625	0.5368	3252.7	3256
13	0.6875	0.6751	3523.3	3523
14	0.8125	0.8310	3970.3	3973

數學分析預測的代碼計數與模擬預測的代碼計數接近，但不完全相同。這是因為直方圖測試是一種統計方法。因此，更多的樣本應該會提高測量的準確性。

使用正弦直方圖方法查找 DNL 誤差

考慮圖 5（紅色曲線）所示的非理想 4 位 ADC。

圖 5.示例 ADC 的理想（藍色）和非理想（紅色）響應。

下面的圖 6 中提供了該 ADC 的微分非線性 (DNL) 圖。

圖 6.非理想 4 位 ADC 的 DNL。

與上一節中的理想情況一樣，我們將使用滿量程電壓為 1 V 的非線性傳遞函數以 40 kHz 的采樣率對 390.3 Hz 正弦波進行數字化。同樣如前所述，A= 1.1 V，B= 0。

請注意，圖 5 中的傳遞函數沒有失調誤差或增益誤差。因此，第一個和最后一個轉換發生在其理想值 (VLE= –0.9375)。收集 80,000 個樣本，我們得到以下直方圖（圖 7）。

圖 7.非理想示例 ADC 的數字代碼出現次數直方圖。

我們排除第一個和最后一個 bin，并將 bin 計數除以公式 9 給出的理想值。這給出了圖 8 中的歸一化直方圖。

圖 8.非理想示例 ADC 的數字代碼出現次數的歸一化直方圖。

在標準化直方圖中，理想的代碼的 bin 計數為 1。因此，從 bin 計數中減去 1 會產生 DNL 信息，該信息由圖 9 中的紅色條形圖繪制。藍色條形圖顯示實際的 DNL 誤差。

圖 9.紅色：示例 ADC 根據正弦直方圖測試的 DNL 響應。藍色：同一示例 ADC 的實際 DNL 響應。

同樣，直方圖方法的結果接近實際值，但并不完全相同。正確選擇不同的測試參數可以提高給定測試時間內的準確性。徹底分析不同測試參數對直方圖方法準確性的影響是一個相對復雜的統計問題，涉及置信度、概率等因素。對于那些有興趣更深入了解這些影響的人，我將在下一節中推薦一些進一步的閱讀材料。

非理想性和閱讀建議

在上面的示例中，我們使用了沒有增益誤差或偏移誤差的理論 ADC。我們還使用了具有已知幅度和零偏移的正弦波。實際上，ADC 可能同時存在偏移誤差和增益誤差，并且我們可能不知道輸入的確切幅度或偏移誤差。這些非理想性會使歸一化方程變得更加復雜。

審核編輯：劉清