導(dǎo)讀

傅里葉分析作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，無(wú)論在概念或方法上都廣泛地影響著數(shù)學(xué)其它分支的發(fā)展。而繁瑣復(fù)雜的公式又在困擾著想要學(xué)習(xí)的人，本文作者采用生動(dòng)有趣的比喻和圖形讓讀者在不看數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析。

我保證這篇文章和你以前看過(guò)的所有文章都不同，這是12年還在果殼的時(shí)候?qū)懙模钱?dāng)時(shí)沒(méi)有來(lái)得及寫(xiě)完就出國(guó)了……于是拖了兩年，嗯，我是拖延癥患者……

這篇文章的核心思想就是：

要讓讀者在不看任何數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析。

傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來(lái)太復(fù)雜了，所以很多大一新生上來(lái)就懵圈并從此對(duì)它深?lèi)和唇^。老實(shí)說(shuō)，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實(shí)在是太嚴(yán)肅了。（您把教材寫(xiě)得好玩一點(diǎn)會(huì)死嗎？會(huì)死嗎？）所以我一直想寫(xiě)一個(gè)有意思的文章來(lái)解釋傅里葉分析，有可能的話(huà)高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，并且一定將體會(huì)到通過(guò)傅里葉分析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感。至于對(duì)于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友，也希望不要看到會(huì)的地方就急忙往后翻，仔細(xì)讀一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。

————以上是定場(chǎng)詩(shī)————

下面進(jìn)入正題：

抱歉，還是要啰嗦一句：其實(shí)學(xué)習(xí)本來(lái)就不是易事，我寫(xiě)這篇文章的初衷也是希望大家學(xué)習(xí)起來(lái)更加輕松，充滿(mǎn)樂(lè)趣。但是千萬(wàn)！千萬(wàn)不要把這篇文章收藏起來(lái)，或是存下地址，心里想著：以后有時(shí)間再看。這樣的例子太多了，也許幾年后你都沒(méi)有再打開(kāi)這個(gè)頁(yè)面。無(wú)論如何，耐下心，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕松、開(kāi)心得多……

p.s.本文無(wú)論是cos還是sin，都統(tǒng)一用“正弦波”（Sine Wave）一詞來(lái)代表簡(jiǎn)諧波。

一、什么是頻域

從我們出生，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢(shì)、人的身高、汽車(chē)的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來(lái)觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱(chēng)其為時(shí)域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為，世間萬(wàn)物都在隨著時(shí)間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來(lái)。但如果我告訴你，用另一種方法來(lái)觀察世界的話(huà)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會(huì)不會(huì)覺(jué)得我瘋了？我沒(méi)有瘋，這個(gè)靜止的世界就叫做頻域。

先舉一個(gè)公式上并非很恰當(dāng)，但意義上再貼切不過(guò)的例子：

在你的理解中，一段音樂(lè)是什么呢？

這是我們對(duì)音樂(lè)最普遍的理解，一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng)。但我相信對(duì)于樂(lè)器小能手們來(lái)說(shuō)，音樂(lè)更直觀的理解是這樣的：

好的！下課，同學(xué)們?cè)僖?jiàn)。

是的，其實(shí)這一段寫(xiě)到這里已經(jīng)可以結(jié)束了。上圖是音樂(lè)在時(shí)域的樣子，而下圖則是音樂(lè)在頻域的樣子。所以頻域這一概念對(duì)大家都從不陌生，只是從來(lái)沒(méi)意識(shí)到而已。

現(xiàn)在我們可以回過(guò)頭來(lái)重新看看一開(kāi)始那句癡人說(shuō)夢(mèng)般的話(huà)：世界是永恒的。

將以上兩圖簡(jiǎn)化：

時(shí)域：

頻域：

在時(shí)域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會(huì)上一會(huì)下的擺動(dòng)，就如同一支股票的走勢(shì)；而在頻域，只有那一個(gè)永恒的音符。

所以

你眼中看似落葉紛飛變化無(wú)常的世界，實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂(lè)章。

抱歉，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學(xué)告訴我們，任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個(gè)例子里我們可以理解為，利用對(duì)不同琴鍵不同力度，不同時(shí)間點(diǎn)的敲擊，可以組合出任何一首樂(lè)曲。

而貫穿時(shí)域與頻域的方法之一，就是傳中說(shuō)的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換（Fourier Transformation），我們從簡(jiǎn)單的開(kāi)始談起。

二、傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Series）的頻譜

還是舉個(gè)栗子并且有圖有真相才好理解。

如果我說(shuō)我能用前面說(shuō)的正弦曲線(xiàn)波疊加出一個(gè)帶90度角的矩形波來(lái)，你會(huì)相信嗎？你不會(huì)，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖：

第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波cos（x）

第二幅圖是2個(gè)賣(mài)萌的正弦波的疊加cos（x）+a.cos（3x）

第三幅圖是4個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加

第四幅圖是10個(gè)便秘的正弦波的疊加

隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長(zhǎng)，他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會(huì)到了什么道理？

（只要努力，彎的都能掰直！）

隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線(xiàn)不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€(xiàn)。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來(lái)才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)90度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無(wú)窮多個(gè)。（上帝：我能讓你們猜著我？）

不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來(lái)的。這是沒(méi)有接觸過(guò)傅里葉分析的人在直覺(jué)上的第一個(gè)難點(diǎn)，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開(kāi)始有意思起來(lái)了。

還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個(gè)角度來(lái)看看：

在這幾幅圖中，最前面黑色的線(xiàn)就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來(lái)越接近矩形波的那個(gè)圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開(kāi)來(lái)，而每一個(gè)波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每?jī)蓚€(gè)正弦波之間都還有一條直線(xiàn)，那并不是分割線(xiàn)，而是振幅為0的正弦波！也就是說(shuō)，為了組成特殊的曲線(xiàn)，有些正弦波成分是不需要的。

這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。

好了，關(guān)鍵的地方來(lái)了！！

如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。

對(duì)于我們最常見(jiàn)的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。

時(shí)域的基本單元就是“1秒”，如果我們將一個(gè)角頻率為的正弦波cos（t）看作基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是。

有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個(gè)周期無(wú)限長(zhǎng)的正弦波，也就是一條直線(xiàn)！所以在頻域，0頻率也被稱(chēng)為直流分量，在傅里葉級(jí)數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對(duì)于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。

接下來(lái)，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。

正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線(xiàn)上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓。

介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個(gè)矩形波，在頻域里的另一個(gè)模樣了：

這是什么奇怪的東西？

這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認(rèn)不出來(lái)了？教科書(shū)一般就給到這里然后留給了讀者無(wú)窮的遐想，以及無(wú)窮的吐槽，其實(shí)教科書(shū)只要補(bǔ)一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱(chēng)的頻譜，就是——

再清楚一點(diǎn)：

可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0，也就對(duì)應(yīng)了圖中的彩色直線(xiàn)。振幅為0的正弦波。

老實(shí)說(shuō)，在我學(xué)傅里葉變換時(shí)，維基的這個(gè)圖還沒(méi)有出現(xiàn)，那時(shí)我就想到了這種表達(dá)方法，而且，后面還會(huì)加入維基沒(méi)有表示出來(lái)的另一個(gè)譜——相位譜。

但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著什么。記得前面說(shuō)過(guò)的那句“世界是靜止的”嗎？估計(jì)好多人對(duì)這句話(huà)都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個(gè)看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線(xiàn)，但實(shí)際這些曲線(xiàn)都是由這些無(wú)窮無(wú)盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時(shí)域上的投影，而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線(xiàn)上的投影。那么你的腦海中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)什么畫(huà)面呢？

我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無(wú)數(shù)的齒輪，大齒輪帶動(dòng)小齒輪，小齒輪再帶動(dòng)更小的。在最外面的小齒輪上有一個(gè)小人——那就是我們自己。我們只看到這個(gè)小人毫無(wú)規(guī)律的在幕布前表演，卻無(wú)法預(yù)測(cè)他下一步會(huì)去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)，永不停歇。這樣說(shuō)來(lái)有些宿命論的感覺(jué)。說(shuō)實(shí)話(huà)，這種對(duì)人生的描繪是我一個(gè)朋友在我們都是高中生的時(shí)候感嘆的，當(dāng)時(shí)想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級(jí)數(shù)……

三、傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Series）的相位譜

上一章的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看。這一章的關(guān)鍵詞是：從下面看。

在這一章最開(kāi)始，我想先回答很多人的一個(gè)問(wèn)題：傅里葉分析究竟是干什么用的？這段相對(duì)比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個(gè)分割線(xiàn)。

先說(shuō)一個(gè)最直接的用途。無(wú)論聽(tīng)廣播還是看電視，我們一定對(duì)一個(gè)詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個(gè)通道來(lái)進(jìn)行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：

先在紙上畫(huà)一個(gè)sin（x），不一定標(biāo)準(zhǔn)，意思差不多就行。不是很難吧。

好，接下去畫(huà)一個(gè)sin（3x）+sin（5x）的圖形。

別說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了，曲線(xiàn)什么時(shí)候上升什么時(shí)候下降你都不一定畫(huà)的對(duì)吧？

好，畫(huà)不出來(lái)不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線(xiàn)給你，但是前提是你不知道這個(gè)曲線(xiàn)的方程式，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。

但是在頻域呢？則簡(jiǎn)單的很，無(wú)非就是幾條豎線(xiàn)而已。

所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線(xiàn)中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱(chēng)為濾波，是信號(hào)處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。

再說(shuō)一個(gè)更重要，但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程。（這段有點(diǎn)難度，看不懂的可以直接跳過(guò)這段）微分方程的重要性不用我過(guò)多介紹了。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情。因?yàn)槌艘?jì)算加減乘除，還要計(jì)算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统ǎ髮W(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒(méi)有。

傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。

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下面我們繼續(xù)說(shuō)相位譜：

通過(guò)時(shí)域到頻域的變換，我們得到了一個(gè)從側(cè)面看的頻譜，但是這個(gè)頻譜并沒(méi)有包含時(shí)域中全部的信息。因?yàn)轭l譜只代表每一個(gè)對(duì)應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒(méi)有提到相位。基礎(chǔ)的正弦波A.sin（wt+θ）中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對(duì)于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個(gè)相位譜。那么這個(gè)相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個(gè)波疊加的圖。

鑒于正弦波是周期的，我們需要設(shè)定一個(gè)用來(lái)標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰，而這個(gè)波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來(lái)表示。當(dāng)然，這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位。

這里需要糾正一個(gè)概念：時(shí)間差并不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話(huà)，相位差則是時(shí)間差在一個(gè)周期中所占的比例。我們將時(shí)間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。

在完整的立體圖中，我們將投影得到的時(shí)間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側(cè)面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話(huà)，可以告訴她：“對(duì)不起，我只是想看看你的相位譜。”

注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因?yàn)閏os（t+Pi）=-cos（t），所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已。對(duì)于周期方波的傅里葉級(jí)數(shù)，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡(jiǎn)單的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域?yàn)椋?pi，pi］，所以圖中的相位差均為Pi。

最后來(lái)一張大集合：

四、傅里葉變換（Fourier Transformation）

相信通過(guò)前面三章，大家對(duì)頻域以及傅里葉級(jí)數(shù)都有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)。但是文章在一開(kāi)始關(guān)于鋼琴琴譜的例子我曾說(shuō)過(guò)，這個(gè)栗子是一個(gè)公式錯(cuò)誤，但是概念典型的例子。所謂的公式錯(cuò)誤在哪里呢？

傅里葉級(jí)數(shù)的本質(zhì)是將一個(gè)周期的信號(hào)分解成無(wú)限多分開(kāi)的（離散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾經(jīng)在學(xué)數(shù)字信號(hào)處理的時(shí)候?qū)戇^(guò)一首打油詩(shī)：

往昔連續(xù)非周期，

回憶周期不連續(xù)，

任你ZT、DFT，

還原不回去。

（請(qǐng)無(wú)視我渣一樣的文學(xué)水平……）

在這個(gè)世界上，有的事情一期一會(huì)，永不再來(lái)，并且時(shí)間始終不曾停息地將那些刻骨銘心的往昔連續(xù)的標(biāo)記在時(shí)間點(diǎn)上。但是這些事情往往又成為了我們格外寶貴的回憶，在我們大腦里隔一段時(shí)間就會(huì)周期性的蹦出來(lái)一下，可惜這些回憶都是零散的片段，往往只有最幸福的回憶，而平淡的回憶則逐漸被我們忘卻。因?yàn)椋羰且粋€(gè)連續(xù)的非周期信號(hào)，而回憶是一個(gè)周期離散信號(hào)。

是否有一種數(shù)學(xué)工具將連續(xù)非周期信號(hào)變換為周期離散信號(hào)呢？抱歉，真沒(méi)有。

比如傅里葉級(jí)數(shù)，在時(shí)域是一個(gè)周期且連續(xù)的函數(shù)，而在頻域是一個(gè)非周期離散的函數(shù)。這句話(huà)比較繞嘴，實(shí)在看著費(fèi)事可以干脆回憶第一章的圖片。

而在我們接下去要講的傅里葉變換，則是將一個(gè)時(shí)域非周期的連續(xù)信號(hào)，轉(zhuǎn)換為一個(gè)在頻域非周期的連續(xù)信號(hào)。

算了，還是上一張圖方便大家理解吧：

或者我們也可以換一個(gè)角度理解：傅里葉變換實(shí)際上是對(duì)一個(gè)周期無(wú)限大的函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換。

所以說(shuō)，鋼琴譜其實(shí)并非一個(gè)連續(xù)的頻譜，而是很多在時(shí)間上離散的頻率，但是這樣的一個(gè)貼切的比喻真的是很難找出第二個(gè)來(lái)了。

因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續(xù)譜。那么連續(xù)譜是什么樣子呢？

你見(jiàn)過(guò)大海么？

為了方便大家對(duì)比，我們這次從另一個(gè)角度來(lái)看頻譜，還是傅里葉級(jí)數(shù)中用到最多的那幅圖，我們從頻率較高的方向看。

以上是離散譜，那么連續(xù)譜是什么樣子呢？

盡情的發(fā)揮你的想象，想象這些離散的正弦波離得越來(lái)越近，逐漸變得連續(xù)……

直到變得像波濤起伏的大海：

很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到，我沒(méi)有選用正確的計(jì)算參數(shù)，而是選擇了一些讓圖片更美觀的參數(shù)，不然這圖看起來(lái)就像屎一樣了。

不過(guò)通過(guò)這樣兩幅圖去比較，大家應(yīng)該可以理解如何從離散譜變成了連續(xù)譜的了吧？原來(lái)離散譜的疊加，變成了連續(xù)譜的累積。所以在計(jì)算上也從求和符號(hào)變成了積分符號(hào)。

不過(guò)，這個(gè)故事還沒(méi)有講完，接下去，我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀的圖片，但是這里需要介紹到一個(gè)數(shù)學(xué)工具才能然故事繼續(xù)，這個(gè)工具就是——

五、宇宙耍帥第一公式：歐拉公式

虛數(shù)i這個(gè)概念大家在高中就接觸過(guò)，但那時(shí)我們只知道它是-1的平方根，可是它真正的意義是什么呢？

這里有一條數(shù)軸，在數(shù)軸上有一個(gè)紅色的線(xiàn)段，它的長(zhǎng)度是1。當(dāng)它乘以3的時(shí)候，它的長(zhǎng)度發(fā)生了變化，變成了藍(lán)色的線(xiàn)段，而當(dāng)它乘以-1的時(shí)候，就變成了綠色的線(xiàn)段，或者說(shuō)線(xiàn)段在數(shù)軸上圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了180度。

我們知道乘-1其實(shí)就是乘了兩次 i使線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)了180度，那么乘一次 i 呢——答案很簡(jiǎn)單——旋轉(zhuǎn)了90度。

同時(shí)，我們獲得了一個(gè)垂直的虛數(shù)軸。實(shí)數(shù)軸與虛數(shù)軸共同構(gòu)成了一個(gè)復(fù)數(shù)的平面，也稱(chēng)復(fù)平面。這樣我們就了解到，乘虛數(shù)i的一個(gè)功能——旋轉(zhuǎn)。

現(xiàn)在，就有請(qǐng)宇宙第一耍帥公式歐拉公式隆重登場(chǎng)——

這個(gè)公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的意義要遠(yuǎn)大于傅里葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因?yàn)樗奶厥庑问健?dāng)x等于Pi的時(shí)候。

經(jīng)常有理工科的學(xué)生為了跟妹子表現(xiàn)自己的學(xué)術(shù)功底，用這個(gè)公式來(lái)給妹子解釋數(shù)學(xué)之美：”石榴姐你看，這個(gè)公式里既有自然底數(shù)e，自然數(shù)1和0，虛數(shù)i還有圓周率pi，它是這么簡(jiǎn)潔，這么美麗啊！“但是姑娘們心里往往只有一句話(huà)：”臭屌絲……“

這個(gè)公式關(guān)鍵的作用，是將正弦波統(tǒng)一成了簡(jiǎn)單的指數(shù)形式。我們來(lái)看看圖像上的涵義：

歐拉公式所描繪的，是一個(gè)隨著時(shí)間變化，在復(fù)平面上做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，隨著時(shí)間的改變，在時(shí)間軸上就成了一條螺旋線(xiàn)。如果只看它的實(shí)數(shù)部分，也就是螺旋線(xiàn)在左側(cè)的投影，就是一個(gè)最基礎(chǔ)的余弦函數(shù)。而右側(cè)的投影則是一個(gè)正弦函數(shù)。

關(guān)于復(fù)數(shù)更深的理解，大家可以參考：

復(fù)數(shù)的物理意義是什么？

https://www.zhihu.com/question/23234701/answer/26017000

這里不需要講的太復(fù)雜，足夠讓大家理解后面的內(nèi)容就可以了。

六、指數(shù)形式的傅里葉變換

有了歐拉公式的幫助，我們便知道：正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線(xiàn)的疊加在實(shí)數(shù)空間的投影。而螺旋線(xiàn)的疊加如果用一個(gè)形象的栗子來(lái)理解是什么呢？

光波

高中時(shí)我們就學(xué)過(guò)，自然光是由不同顏色的光疊加而成的，而最著名的實(shí)驗(yàn)就是牛頓師傅的三棱鏡實(shí)驗(yàn)：

所以其實(shí)我們?cè)诤茉缇徒佑|到了光的頻譜，只是并沒(méi)有了解頻譜更重要的意義。

但不同的是，傅里葉變換出來(lái)的頻譜不僅僅是可見(jiàn)光這樣頻率范圍有限的疊加，而是頻率從0到無(wú)窮所有頻率的組合。

這里，我們可以用兩種方法來(lái)理解正弦波：

第一種前面已經(jīng)講過(guò)了，就是螺旋線(xiàn)在實(shí)軸的投影。

另一種需要借助歐拉公式的另一種形式去理解：

將以上兩式相加再除2，得到：

這個(gè)式子可以怎么理解呢？

我們剛才講過(guò)，e^（it）可以理解為一條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線(xiàn)，那么e^（-it）則可以理解為一條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線(xiàn)。而cos（t）則是這兩條旋轉(zhuǎn)方向不同的螺旋線(xiàn)疊加的一半，因?yàn)檫@兩條螺旋線(xiàn)的虛數(shù)部分相互抵消掉了！

舉個(gè)例子的話(huà)，就是極化方向不同的兩束光波，磁場(chǎng)抵消，電場(chǎng)加倍。

這里，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱(chēng)為正頻率，而順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱(chēng)為負(fù)頻率（注意不是復(fù)頻率）。

好了，剛才我們已經(jīng)看到了大海——連續(xù)的傅里葉變換頻譜，現(xiàn)在想一想，連續(xù)的螺旋線(xiàn)會(huì)是什么樣子：

想象一下再往下翻：

是不是很漂亮？

你猜猜，這個(gè)圖形在時(shí)域是什么樣子？

哈哈，是不是覺(jué)得被狠狠扇了一個(gè)耳光。數(shù)學(xué)就是這么一個(gè)把簡(jiǎn)單的問(wèn)題搞得很復(fù)雜的東西。

順便說(shuō)一句，那個(gè)像大海螺一樣的圖，為了方便觀看，我僅僅展示了其中正頻率的部分，負(fù)頻率的部分沒(méi)有顯示出來(lái)。

如果你認(rèn)真去看，海螺圖上的每一條螺旋線(xiàn)都是可以清楚的看到的，每一條螺旋線(xiàn)都有著不同的振幅（旋轉(zhuǎn)半徑），頻率（旋轉(zhuǎn)周期）以及相位。而將所有螺旋線(xiàn)連成平面，就是這幅海螺圖了。

好了，講到這里，相信大家對(duì)傅里葉變換以及傅里葉級(jí)數(shù)都有了一個(gè)形象的理解了，我們最后用一張圖來(lái)總結(jié)一下：

好了，傅里葉的故事終于講完了，下面來(lái)講講我的故事：

這篇文章第一次被寫(xiě)下來(lái)的地方你們絕對(duì)猜不到在哪，是在一張高數(shù)考試的卷子上。當(dāng)時(shí)為了刷分，我重修了高數(shù)（上），但是后來(lái)時(shí)間緊壓根沒(méi)復(fù)習(xí)，所以我就抱著裸考的心態(tài)去了考場(chǎng)。但是到了考場(chǎng)我突然意識(shí)到，無(wú)論如何我都不會(huì)比上次考的更好了，所以干脆寫(xiě)一些自己對(duì)于數(shù)學(xué)的想法吧。于是用了一個(gè)小時(shí)左右的時(shí)間在試卷上洋洋灑灑寫(xiě)了本文的第一草稿。

你們猜我的了多少分？

6分

沒(méi)錯(cuò)，就是這個(gè)數(shù)字。而這6分的成績(jī)是因?yàn)樽詈笪覍?shí)在無(wú)聊，把選擇題全部填上了C，應(yīng)該是中了兩道，得到了這寶貴的6分。說(shuō)真的，我很希望那張卷子還在，但是應(yīng)該不太可能了。

那么你們猜猜我第一次信號(hào)與系統(tǒng)考了多少分呢？

45分

沒(méi)錯(cuò)，剛剛夠參加補(bǔ)考的。但是我心一橫沒(méi)去考，決定重修。因?yàn)槟莻€(gè)學(xué)期在忙其他事情，學(xué)習(xí)真的就拋在腦后了。但是我知道這是一門(mén)很重要的課，無(wú)論如何我要吃透它。說(shuō)真的，信號(hào)與系統(tǒng)這門(mén)課幾乎是大部分工科課程的基礎(chǔ)，尤其是通信專(zhuān)業(yè)。

在重修的過(guò)程中，我仔細(xì)分析了每一個(gè)公式，試圖給這個(gè)公式以一個(gè)直觀的理解。雖然我知道對(duì)于研究數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，這樣的學(xué)習(xí)方法完全沒(méi)有前途可言，因?yàn)殡S著概念愈加抽象，維度越來(lái)越高，這種圖像或者模型理解法將完全喪失作用。但是對(duì)于一個(gè)工科生來(lái)說(shuō)，足夠了。

后來(lái)來(lái)了德國(guó)，這邊學(xué)校要求我重修信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)，我徹底無(wú)語(yǔ)了。但是沒(méi)辦法，德國(guó)人有時(shí)對(duì)中國(guó)人就是有種藐視，覺(jué)得你的教育不靠譜。所以沒(méi)辦法，再來(lái)一遍吧。

這次，我考了滿(mǎn)分，而及格率只有一半。

老實(shí)說(shuō)，數(shù)學(xué)工具對(duì)于工科生和對(duì)于理科生來(lái)說(shuō)，意義是完全不同的。工科生只要理解了，會(huì)用，會(huì)查，就足夠了。但是很多高校卻將這些重要的數(shù)學(xué)課程教給數(shù)學(xué)系的老師去教。這樣就出現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)老師講得天花亂墜，又是推理又是證明，但是學(xué)生心里就只有一句話(huà)：學(xué)這貨到底干嘛用的？

缺少了目標(biāo)的教育是徹底的失敗。

在開(kāi)始學(xué)習(xí)一門(mén)數(shù)學(xué)工具的時(shí)候，學(xué)生完全不知道這個(gè)工具的作用，現(xiàn)實(shí)涵義。而教材上有只有晦澀難懂，定語(yǔ)就二十幾個(gè)字的概念以及看了就眼暈的公式。能學(xué)出興趣來(lái)就怪了！

好在我很幸運(yùn)，遇到了大連海事大學(xué)的吳楠老師。他的課全程來(lái)看是兩條線(xiàn)索，一條從上而下，一條從下而上。先講本門(mén)課程的意義，然后指出這門(mén)課程中會(huì)遇到哪樣的問(wèn)題，讓學(xué)生知道自己學(xué)習(xí)的某種知識(shí)在現(xiàn)實(shí)中扮演的角色。然后再?gòu)幕A(chǔ)講起，梳理知識(shí)樹(shù)，直到延伸到另一條線(xiàn)索中提出的問(wèn)題，完美的銜接在一起！

這樣的教學(xué)模式，我想才是大學(xué)里應(yīng)該出現(xiàn)的。

最后，寫(xiě)給所有給我點(diǎn)贊并留言的同學(xué)。真的謝謝大家的支持，也很抱歉不能一一回復(fù)。因?yàn)橹鯇?zhuān)欄的留言要逐次加載，為了看到最后一條要點(diǎn)很多次加載。當(dāng)然我都堅(jiān)持看完了，只是沒(méi)辦法一一回復(fù)。

本文只是介紹了一種對(duì)傅里葉分析新穎的理解方法，對(duì)于求學(xué)，還是要踏踏實(shí)實(shí)弄清楚公式和概念，學(xué)習(xí)，真的沒(méi)有捷徑。但至少通過(guò)本文，我希望可以讓這條漫長(zhǎng)的路變得有意思一些。

最后，祝大家都能在學(xué)習(xí)中找到樂(lè)趣。…