對串聯機械臂而言，軌跡規劃可以分為：關節空間軌跡規劃和笛卡爾空間軌跡規劃。關節空間軌跡規劃是把機器人的關節變量變換成跟時間的函數，然后對角速度和角加速度進行約束。

笛卡爾空間軌跡規劃是把機器人末端在笛卡爾空間的位移、速度和加速度變換成跟時間的函數關系。

由于在關節空間中進行軌跡規劃是直接用運動時的受控變量規劃軌跡，有著計算量小，容易實時控制，而且不會發生機構奇異性等優點，所以經常被采用。

現以一維的軌跡為研究對象，利用三次多項式插值法和五次多項式插值法分別對其進行軌跡規劃，通過對比兩種插值法的效果，選取效果更優者對六自由度機械臂進行軌跡規劃。

** 三次多項式插值法**

三次多項式有4個待定系數，可同時對起始點和目標點的角度和角速度給出約束條件。

數學推導

MATLAB代碼

%三次多項式插值法
clear;
clc;
q_array=[0,50,150,100,0];%指定起止位置
t_array=[0,2,4,8,10];%指定起止時間
v_array=[0,10,20,-15,0];%指定起止速度
t=[t_array(1)];q=[q_array(1)];v=[v_array(1)];a=[0];%初始狀態
for i=1:1:length(q_array)-1%每一段規劃的時間
     a0=q_array(i);
     a1=v_array(i);
     a2=(3/(t_array(i+1)-t_array(i))^2)*(q_array(i+1)-q_array(i))-(1/(t_array(i+1)-t_array(i)))*(2*v_array(i)+v_array(i+1));
     a3=(2/(t_array(i+1)-t_array(i))^3)*(q_array(i)-q_array(i+1))+(1/(t_array(i+1)-t_array(i))^2)*(v_array(i)+v_array(i+1));
     ti=t_array(i)+0.001:0.001:t_array(i+1);
     qi=a0+a1*(ti-t_array(i))+a2*(ti-t_array(i)).^2+a3*(ti-t_array(i)).^3;
     vi=a1+2*a2*(ti-t_array(i))+3*a3*(ti-t_array(i)).^2;
     ai=2*a2+6*a3*(ti-t_array(i));
     t=[t,ti];q=[q,qi];v=[v,vi];a=[a,ai];
end
subplot(3,1,1),plot(t,q,'r'),xlabel('t/s'),ylabel('p/m');hold on; plot(t_array,q_array,'o','color','r'),grid on;
subplot(3,1,2),plot(t,v,'b'),xlabel('t/s'),ylabel('v/(m/s)');hold on;plot(t_array,v_array,'*','color','r'),grid on;
subplot(3,1,3),plot(t,a,'g'),xlabel('t/s'),ylabel('a/(m/s^2)');hold on;
% 指定文件夾保存圖片
filepath=pwd;           %保存當前工作目錄
cd('C:UsersAdministratorDesktoppic')                %把當前工作目錄切換到圖片存儲文件夾
print(gcf,'-djpeg','C:UsersAdministratorDesktoppicsan.jpeg'); %將圖片保存為jpg格式，
cd(filepath)            %切回原工作目錄