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今天給大家?guī)硪黄督馕龃竽Ｐ椭械腟caling Law》，來自知乎@nghuyong

在大模型的研發(fā)中，通常會有下面一些需求：

計劃訓練一個10B的模型，想知道至少需要多大的數(shù)據(jù)？

收集到了1T的數(shù)據(jù)，想知道能訓練一個多大的模型？

老板準備1個月后開發(fā)布會，能用的資源是100張A100，那應該用多少數(shù)據(jù)訓一個多大模型最終效果最好？

老板對現(xiàn)在10B的模型不滿意，想知道擴大到100B模型的效果能提升到多少？

以上這些問題都可以基于Scaling Law的理論進行回答。本文是閱讀了一系列caling Law的文章后的整理和思考，包括Scaling Law的概念和推導以及反Scaling Law的場景，不當之處，歡迎指正。

核心結論

大模型的Scaling Law是OpenAI在2020年提出的概念[1]，具體如下:

對于Decoder-only的模型，計算量(Flops), 模型參數(shù)量, 數(shù)據(jù)大小(token數(shù))，三者滿足: 。(推導見本文最后)

模型的最終性能「主要與」計算量，模型參數(shù)量和數(shù)據(jù)大小三者相關，而與模型的具體結構(層數(shù)/深度/寬度)基本無關。

固定模型的總參數(shù)量，調整層數(shù)/深度/寬度，不同模型的性能差距很小，大部分在2%以內(nèi)

對于計算量，模型參數(shù)量和數(shù)據(jù)大小，當不受其他兩個因素制約時，模型性能與每個因素都呈現(xiàn)「冪律關系」

basic

為了提升模型性能，模型參數(shù)量和數(shù)據(jù)大小需要同步放大，但模型和數(shù)據(jù)分別放大的比例還存在爭議。

Scaling Law不僅適用于語言模型，還適用于其他模態(tài)以及跨模態(tài)的任務[4]：

multi_modal

這里橫軸單位為PF-days: 如果每秒鐘可進行次運算，就是1 peta flops，那么一天的運算就是，這個算力消耗被稱為1個petaflop/s-day。

核心公式

第一項是指無法通過增加模型規(guī)模來減少的損失，可以認為是數(shù)據(jù)自身的熵（例如數(shù)據(jù)中的噪音）

第二項是指能通過增加計算量來減少的損失，可以認為是模型擬合的分布與實際分布之間的差。

根據(jù)公式，增大(例如計算量)，模型整體loss下降，模型性能提升；伴隨趨向于無窮大，模型能完美擬合數(shù)據(jù)的真實分布，讓第二項逼近0，整體趨向于

大模型中的Scaling Law

GPT4

下圖是GPT4報告[5]中的Scaling Law曲線，計算量和模型性能滿足冪律關系

橫軸是歸一化之后的計算量，假設GPT4的計算量為1。基于10,000倍小的計算規(guī)模，就能預測最終GPT4的性能。

縱軸是"Bits for words", 這也是交叉熵的一個單位。在計算交叉熵時，如果使用以 2 為底的對數(shù)，交叉熵的單位就是 "bits per word"，與信息論中的比特（bit）概念相符。所以這個值越低，說明模型的性能越好。

Baichuan2

下圖是Baichuan2[6]技術報告中的Scaling Law曲線。基于10M到3B的模型在1T數(shù)據(jù)上訓練的性能，可預測出最后7B模型和13B模型在2.6T數(shù)據(jù)上的性能

MindLLM

下圖是MindLLM[7]技術報告中的Scaling Law曲線。基于10M到500M的模型在10B數(shù)據(jù)上訓練的性能，預測出最后3B模型在500B數(shù)據(jù)上的性能。

Scaling Law實操: 計算效率最優(yōu)

根據(jù)冪律定律，模型的參數(shù)固定，無限堆數(shù)據(jù)并不能無限提升模型的性能，模型最終性能會慢慢趨向一個固定的值。

如圖所示，如果模型的參數(shù)量為（圖中紫色的線），在數(shù)量達到，模型基本收斂。所以在數(shù)據(jù)量達到后，繼續(xù)增加數(shù)據(jù)產(chǎn)生的計算量，沒有同樣計算量下提升模型參數(shù)量帶來的收益大（「計算效率更優(yōu)」）。根據(jù)，可以進一步轉換成模型參數(shù)與計算量的關系，即: 模型參數(shù)為，在計算量為 Flops，即 PF-days時基本收斂。也就是右圖中紫色線的拐點。

按照上面的思路，下面進行Scaling Law的實操

首先準備充足的數(shù)據(jù)（例如1T），設計不同模型參數(shù)量的小模型(例如0.001B - 1B)，獨立訓練每個模型，每個模型都訓練到基本收斂（假設數(shù)據(jù)量充足）。根據(jù)訓練中不同模型的參數(shù)和數(shù)據(jù)量的組合，收集計算量與模型性能的關系。然后可以進一步獲得「計算效率最優(yōu)」時，即同樣計算量下性能最好的模型規(guī)模和數(shù)據(jù)大小的組合，模型大小與計算量的關系，以及數(shù)據(jù)大小與計算量的關系。

如圖所示，根據(jù)左圖可以看到計算量與模型性能呈現(xiàn)冪律關系（可以認為數(shù)據(jù)和模型都不受限制），根據(jù)中圖和右圖，可以發(fā)現(xiàn)，即計算效率最優(yōu)時，模型的參數(shù)與計算量的冪次成線性關系，數(shù)據(jù)量的大小也與計算量的冪次成線性關系。

根據(jù)，可以推算出，但是分別是多少存在分歧。

OpenAI[1]認為模型規(guī)模更重要，即，而DeepMind在Chinchilla工作[2]和Google在PaLM工作[3]中都驗證了，即模型和數(shù)據(jù)同等重要。

所以假定計算量整體放大10倍，OpenAI認為模型參數(shù)更重要，模型應放大 (5.32)倍，數(shù)據(jù)放大 (1.86)倍；后來DeepMind和Google認為模型參數(shù)量與數(shù)據(jù)同等重要，兩者都應該分別放大 (3.16)倍。

例如在PaLM的實驗中，計算量從放大10倍到， 模型參數(shù)提升了3.2倍，3.35B->10.7B。

具體最好在自己的數(shù)據(jù)上做實驗來獲得你場景下的和。

LLaMA: 反Scaling Law的大模型

假設我們遵循「計算效率最優(yōu)」來研發(fā)LLM，那么根據(jù)Scaling Law，給定模型大小，可以推算出最優(yōu)的計算量，進一步根據(jù)最優(yōu)計算量就能推算出需要的token數(shù)量，然后訓練就行。

但是「計算效率最優(yōu)」這個觀點是針對「訓練階段」而言的，并不是「推理階段」。

Meta在LLaMA[8]的觀點是：給定一個模型的目標性能，并不需要用最優(yōu)的計算效率在「最快」時間訓練好模型，而應該在更大規(guī)模的數(shù)據(jù)上，訓練一個相對「更小」模型，這樣的模型在推理階段的成本更低，盡管訓練階段的效率不是最優(yōu)的（同樣的算力其實能獲得更優(yōu)的模型，但是模型尺寸也會更大）。所以盡管根據(jù)Scaling Law，10B模型只需要200B的數(shù)據(jù)，但是作者發(fā)現(xiàn)7B的模型性能在1T的數(shù)據(jù)后還能繼續(xù)提升。

所以LLaMA工作的重點是訓練一系列語言模型，通過使用更多的數(shù)據(jù)，讓模型在「有限推理資源下有最佳的性能」。

具體而言，確定模型尺寸后，Scaling Law給到的只是最優(yōu)的數(shù)據(jù)供給，或者說是一個「至少」的數(shù)據(jù)量，實際上觀察在各個指標上的性能表現(xiàn)，只要還在繼續(xù)增長，就可以持續(xù)增加訓練數(shù)據(jù)。

計算量、模型和數(shù)據(jù)大小的關系推導

對于Decoder-only的模型，計算量(Flops), 模型參數(shù)量(除去Embedding部分), 數(shù)據(jù)大小(token數(shù)), 三者的關系為:

推導如下，記模型的結構為:

decoder層數(shù):

attention 隱層維度:

attention feedforward層維度: ， 一般來說

首先推導模型的參數(shù)量（忽略embedding，norm和bias）計算如下:

transformer每層包括: self-attetion 和 MLP 兩個部分:

self-attention的參數(shù)為，每個矩陣的維度均為，整體參數(shù)量:

MLP的層數(shù)的參數(shù)為，整體參數(shù)量:

所以每層的參數(shù)量為: ，全部的層的參數(shù)量為: ，即

繼續(xù)推導模型的前向推理的計算量:

計算量的單位是FLOPs，floating point operations, 對于矩陣，相乘的計算量為，一次加法一次乘法。

假設Decoder層的輸入, 為batch size，為序列長度, 為模型維度。

self-attention部分的計算:

輸入線性層: ，計算量為:

atention計算: ，計算量為:

socre與V的計算: ，計算量為:

輸出線性層: ，計算量為:

MLP部分的計算

升維: ，計算量為:

降維: ，計算量為:

所以整個decoder層的計算量為:，全部層為:

反向傳播計算量是正向的2倍，所以全部的計算量為:

平均每個token的計算量為()

所以對于全部包含個token的數(shù)據(jù)集:

審核編輯：黃飛