線彈性模型是結(jié)構力學分析中最基礎的材料模型。雖然聽上去微不足道，但模型中卻包含不少難以一眼看出的重要細節(jié)。在本篇文章中，我們將深入討論線彈性材料模型的相關理論和應用，并且大致介紹其各向同性和各向異性、材料數(shù)據(jù)的容許值、不可壓縮性，以及與幾何非線性之間的相互作用。

各向同性線彈性

在絕大多數(shù)涉及線彈性材料的仿真中，我們都要模擬完全不具有方向敏感性的各向同性材料。描述這種材料只需要兩個獨立材料參數(shù)。有很多方法來選擇合適的參數(shù)，不過其中某些參數(shù)則更為常用。

楊氏模量、剪切模量和泊松比

楊氏模量、剪切模量和泊松比是材料數(shù)據(jù)表中最常見的參數(shù)。它們不是獨立參數(shù)，因為剪切模量

楊氏模量可以通過單軸拉伸試驗直接測量，而剪切模量可以通過純扭試驗測量。

在單軸試驗中，泊松比用于確定材料的橫向收縮（或拉升）程度。其容許范圍為 -1 <

對于大部分金屬和合金而言，

在給定

當

體積模量

體積模量

當

體積模量往往與剪切模量被一起指定。從某種意義上講，這兩個參數(shù)是最獨立的參數(shù)選擇。體積變化僅僅取決于體積模量，扭曲則完全受剪切模量決定。

拉梅常數(shù)

拉梅常數(shù)

常數(shù)

線彈性材料的不可壓縮性

橡膠一類的材料幾乎不可壓縮。從數(shù)學角度來說，完全不可壓縮材料與可壓縮材料具有本質(zhì)的區(qū)別。因為不會發(fā)生體積變化，因此無法確定其平均應力。平均應力（壓力）p是體積變化

不成立，而必須用一個約束說明進行替代

不可壓縮性還有另一個角度需要注意，

想法可行，但在這種情況中，基于標準位移的有限元公式可能得出不理想的結(jié)果，這是由鎖定現(xiàn)象引起的。造成的后果包括：

• 模型過于生硬。

• 應力呈棋盤式分布。

• 方程的病態(tài)導致求解器發(fā)生錯誤或發(fā)出警告。

補救方法是使用混合方程，將壓力作為額外自由度引入。在 COMSOL Multiphysics 中，勾選材料模型設置窗口中的幾乎不可壓縮材料復選框，即可啟用混合方程。

為線彈性材料啟用混合公式的部分設置。

當泊松比約大于或等于 0.45 時，體積模量比剪切模量大超過一個數(shù)量級，因此使用混合公式是明智的做法。其效果示例如下圖所示。

一個簡單的平面應變模型中的應力分布，= 0.499。上方的圖表示基于標準位移的方程，下方的圖表示混合方程。

在僅涉及位移自由度的解中，其應力分布圖在左端（即存在約束的位置）呈現(xiàn)出扭曲的狀態(tài)。使用混合公式后，這些扭曲幾乎全部消失。

正交各向異性和各向異性

在一般情況下，線彈性材料的材料屬性都具有方向敏感性。其中最普遍的特性是各向異性，這意味著全部六個應力分量都取決于各自不同的應變分量。完整表示這些分量需要 21 個材料參數(shù)，很明顯，獲取全部數(shù)據(jù)是一項艱巨的任務。如果將應力

幸運的是，各向異性材料通常會表現(xiàn)一定的對稱性。在正交各向異性材料中，有三個正交方向上的剪切作用和軸向動作實現(xiàn)解耦。也就是說，當材料沿著其中一個主方向拉伸時，它只會在兩個正交方向上收縮，而不會受剪切力的作用。完整描述正交各向異性材料需要九個獨立材料參數(shù)。

當以柔度形式記錄時，正交各向異性材料的本構關系會更加清晰明了，其中

由于柔度矩陣必然是對稱的，因此使用的十二個常數(shù)可通過符合下方形式的三個對稱關系減少為九個

請注意

各向異性和正交各向異性常見于非均質(zhì)材料。其材料屬性通常不是由測量得到的，人們更傾向于通過從微觀到宏觀尺度的均質(zhì)化過程計算這些屬性。關于這種均質(zhì)化作用在完全不同的研究背景中的討論，請訪問文末“閱讀原文”查看這篇文章。

對于非各向同性材料來說，使用描述各向同性材料的類似材料參數(shù)進行計算，在取值上可能會受到一些限制。我們雖難以立即發(fā)現(xiàn)這些限制，但有兩個注意事項會對我們找到限制有所幫助：

1. 本構矩陣

   1. 對于各向異性材料，唯一的選擇是檢查是否所有特征值都為正。

   2. 對于正交各向異性材料，適用條件為：全部六個彈性模量皆為正，且

2. 如果材料的壓縮率低，則必須使用混合方程。

   1. 我們可以估計等效體積模量和剪切模量的值。

   2. 在不確定的情況下，為了避免可能出現(xiàn)的誤差，最好在混合方程中引入額外自由度。

幾何非線性

在解決幾何非線性問題時，“線彈性”的含義實際上是一個常規(guī)問題。這里的問題是，我們有多種應力和應變的數(shù)學表示方式。如希望了解有關應力和應變的不同測量方式，請點擊文末的“閱讀原文”查看這一文章。

因為在 COMSOL Multiphysics 中，主應力和應變量分別為第二 Piola-Kirchhoff 應力和 Green-Lagrange 應變，因此線彈性自然地被解釋為兩個量之間的線性關系。人們有時將這種材料稱作 St. Venant 材料。

人們通常憑直覺認為“線彈性”指的是簡單拉伸試驗中力與位移的線性關系。事實并非如此，因為應力和應變都取決于變形。為了理解這一點，我們來看一看橫截面為正方形的條塊。

受到均勻拉伸的條塊。

條塊的初始長度為

在這里，

力可表示為軸向 Cauchy 應力

為了使用線彈性關系，Cauchy 應力

其中

由于對受到單軸拉伸作用的 St. Venant 材料來說，其軸向應力與軸向應變的關系為

已知 Green-Lagrange 應變張量在軸向上的項定義為

所以力與位移的關系為

具有幾何非線性的線彈性材料實際上意味著力與工程應變（或者力與位移之間，因為

幾何非線性條件下的線彈性材料單軸響應。

如圖所示，受壓側(cè)的材料剛度接近于零：

• 通常，在引入更復雜的材料模型之前，您可能想快速檢查一遍“數(shù)量級”。

• 模型中存在奇異點，并且致使某一點上產(chǎn)生了極高的應變。

  • 點擊此處，閱讀更多關于奇異點的知識。

• 接觸問題中的研究總是圍繞幾何非線性問題。

  • 高壓縮應變通常在分析過程中出現(xiàn)于某一時刻的局部接觸區(qū)域。

對于以上所有情況來說，如果壓縮應力過大，求解器也許會無法求解。如果您懷疑我們的示例屬于這種情況，繪制最小主應變是一個很好的檢測方法。如果它小于 -0.3 左右，我們就預測到會發(fā)生類似故障。由 Green-Lagrange 應變得到的臨界值結(jié)果為 -1/3，如果這是一個問題，您應該考慮更換一個合適的超彈性材料模型。

壓縮或許不是唯一的問題。在上述分析里，泊松比沒有出現(xiàn)在方程中。那么橫截面的情況如何呢？

根據(jù)單軸情況中的定義，橫向應變與軸向應變的關系為

當這些應變是 Green-Lagrange 應變時，這便是一個非線性關系，可表述為

因此橫截面的變化具有很強的非線性。求解這個二次方程可得出如下的工程應變之間的關系

結(jié)果如下圖所示。

St. Venant 材料受到單軸拉伸作用時，其橫向位移隨軸向位移而變化。圖中顯示了五個不同的泊松比的值。

如您所見，當泊松比的值更高時，橫截面在大拉伸應力的作用下的塌陷更為迅速。

如果選擇另一種應力和應變數(shù)學表述方式，例如 Cauchy 應力與對數(shù)或“真實的”應變成正比，那么我們將得到完全不同的響應。當力-位移響應取決于泊松比的值時，這種材料的剛度反而會隨著拉伸而下降。雖然在兩個不同的仿真平臺中，利用大應變彈性計算出的結(jié)果存在巨大差異，但兩種材料仍舊皆可稱為“線彈性”材料。