編者按：在機(jī)器學(xué)習(xí)面前，我們都像一個(gè)孩子。當(dāng)剛學(xué)會(huì)反向傳播算法時(shí)，許多人會(huì)不滿足于最基礎(chǔ)的感知器，去嘗試搭建更深、層數(shù)更多的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。他們欣賞著自己的實(shí)現(xiàn)，就像沙灘上的孩子驕傲地看著自己用泥沙堆起來的城堡。但和城堡的徒有其表一樣，這些神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能往往也難以令人滿意，它們也許會(huì)陷入無休止的訓(xùn)練，也許準(zhǔn)確率永遠(yuǎn)提不上來。這時(shí)，一些人就會(huì)開始懷疑：難道神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不是最先進(jìn)的技術(shù)？

類似的懷疑，誰都有過——

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程包括前向傳播和反向傳播兩個(gè)部分，如果前向傳播得到的預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)際結(jié)果不符，這就說明網(wǎng)絡(luò)沒有訓(xùn)練好，要用反向傳播去重新調(diào)整各個(gè)權(quán)重。這之中涉及各種常見的優(yōu)化算法，以梯度下降為例，它的思路是把當(dāng)前梯度的負(fù)值方向作為搜索方向，通過調(diào)整權(quán)重使目標(biāo)函數(shù)趨近局部最小值，也就是讓代價(jià)函數(shù)/損失函數(shù)越來越小。

如上式所述，梯度下降算法用原權(quán)重減去乘上標(biāo)量α（0到1之間）的梯度來更新權(quán)重，并“重復(fù)”這一過程直至收斂。但在實(shí)際操作中，這個(gè)“重復(fù)”的迭代次數(shù)是一個(gè)人為選定的超參數(shù)，這意味著它可能過小，最后收斂效果并不好；它也可能過大，網(wǎng)絡(luò)被訓(xùn)練得“沒完沒了”。因此訓(xùn)練時(shí)間和訓(xùn)練效果之間存在“過猶不及”的尷尬情況。

那么這個(gè)超參數(shù)是怎么影響收斂的？就像不同人下山速度不同一樣，梯度下降有一個(gè)下降步長，迭代時(shí)間越短，步長就越大，雖然收斂速度很快，但它容易無法精確收斂到最后的最優(yōu)解；相反地，如果迭代時(shí)間過長，步長越小，那在很長一段收斂過程中，可能網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重并不會(huì)發(fā)生太大改變，而且相對(duì)大步長，小步長在規(guī)定迭代次數(shù)內(nèi)接近最小值也更難。

小步長收斂宛如“蝸?！?/p>

大步長收斂效率更高

這還不是唯一的毛病，當(dāng)梯度數(shù)值過小時(shí)，它容易被四舍五入為0，也就是下溢出。這時(shí)再對(duì)這個(gè)數(shù)做某些運(yùn)算就會(huì)出問題。

看到這里，我們似乎已經(jīng)得到這樣一個(gè)事實(shí)：小梯度 = 不好。雖然這個(gè)結(jié)論看起來有些武斷，但在很多情況下，它并不是危言聳聽，因?yàn)楸疚囊v的梯度消失就是由小梯度引起的。

讓我們回想一下sigmoid函數(shù)，這是一個(gè)經(jīng)常會(huì)在分類問題中遇到的激活函數(shù)：

如上圖所示，sigmoid的作用確實(shí)是有目共睹的，它能把任何輸入的閾值都限定在0到1之間，非常適合概率預(yù)測(cè)和分類預(yù)測(cè)。但這幾年sigmoid與tanh卻一直火不起來，凡是提及激活函數(shù)，大家第一個(gè)想到的就是ReLU，為什么？

因?yàn)閟igmoid幾乎就是梯度消失的代名詞，我們先對(duì)它求導(dǎo)：

這看起來就是個(gè)很普通的 s(1-s) 算式，好像沒什么問題。讓我們繪制它的圖像：

仔細(xì)看一看，還是沒問題嗎？可以發(fā)現(xiàn)，上圖中最大值只有1/4，最小值無限接近0，換言之，這個(gè)導(dǎo)數(shù)的閾值是(0, 1/4]。記住這個(gè)值，待會(huì)兒我們會(huì)用到。

現(xiàn)在我們先回頭繼續(xù)討論神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反向傳播算法，看看梯度對(duì)它們會(huì)產(chǎn)生什么影響。

這是一個(gè)最簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，除了輸入神經(jīng)元，其他神經(jīng)元的act()都來自前一層的神經(jīng)元：先用act()乘上一個(gè)權(quán)重，再經(jīng)激活函數(shù)饋送進(jìn)下一層，來自上層的信息就成了一個(gè)全新的act()。最后的J歸納了前饋過程中的所有誤差項(xiàng)（error），輸出網(wǎng)絡(luò)整體誤差。這之后，我們?cè)賵?zhí)行反向傳播，通過梯度下降修改參數(shù)，使J的輸出最小化。

下面是第一項(xiàng)權(quán)重w1的導(dǎo)數(shù)：

我們可以利用權(quán)重的導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行梯度下降，繼而迭代出全局最優(yōu)點(diǎn)，但在那之前，這個(gè)派生的乘法運(yùn)算值得關(guān)注：

由于上一層的輸出乘上激活函數(shù)就是下一層的輸入，所以上式其實(shí)還包含sigmoid的導(dǎo)數(shù)，如果把信息全部表示完整，從輸出返回到第二層隱藏層的表達(dá)式應(yīng)該是：

同理，從第二層隱藏層到第一層隱藏層則是：

它們都包含sigmoid函數(shù)，合起來就是：

之前我們已經(jīng)對(duì)sigmoid求過導(dǎo)了，計(jì)算出它的閾值是(0, 1/4]。結(jié)合上式，兩個(gè)0到1之間的小數(shù)相乘，積小于任一乘數(shù)。而在典型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，權(quán)重初始化的一般方法是權(quán)重的選擇要服從均值=0，方差=1的正態(tài)分布，因此這些初始權(quán)重的閾值是[-1, 1]。

接下來的事情就很清楚了：

即便不用常規(guī)權(quán)重初始化方法，w2和w3大于1，但它們對(duì)兩個(gè)sigmoid導(dǎo)數(shù)相乘來說還是杯水車薪，梯度變得太小了。而在實(shí)際操作中，隨機(jī)權(quán)重是很可能小于1的，所以那時(shí)它反而是在助紂為虐。

這還只有2個(gè)隱藏層，試想一下，如果這是一個(gè)工業(yè)級(jí)的深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，那么當(dāng)它在執(zhí)行反向傳播時(shí)，這個(gè)梯度會(huì)變得有多小，小到突然消失也在情理之中。另一方面，如果我們把然激活函數(shù)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值控制在大于1，那這個(gè)連乘操作也很嚇人，結(jié)果會(huì)無限大，也就是我們常說的“梯度爆炸”。

現(xiàn)在，我們來看一個(gè)典型的ANN：

第一項(xiàng)權(quán)重距離誤差項(xiàng)J最遠(yuǎn)，因此求導(dǎo)后它的表達(dá)式最長，也包含更多sigmoid函數(shù)，計(jì)算結(jié)果更小。所以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第一層往往是訓(xùn)練時(shí)間最長的一層。它同時(shí)也是后面所有層的基礎(chǔ)，如果這一層不夠準(zhǔn)確，那就會(huì)產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，直接拉低整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的性能。

這就也是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，尤其是深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一開始并不為行業(yè)所接受的原因。正確訓(xùn)練前幾層是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)，但激活函數(shù)的缺陷和硬件設(shè)備的算力不足，使當(dāng)時(shí)的研究人員連打好基礎(chǔ)都做不到。

看到這里，我們應(yīng)該都已經(jīng)理解sigmoid函數(shù)的缺點(diǎn)了，它的替代方案tanh函數(shù)雖然也曾聲名大噪，但考慮到tanh(x)=2sigmoid(2x)-1，它肯定也存在同樣的問題。那么，現(xiàn)在大家都在用的ReLU好在哪兒？

首先，ReLU是一個(gè)分段函數(shù)：

它還有另一種寫法：

當(dāng)輸入小于0時(shí)，函數(shù)輸出0；當(dāng)輸入大于零時(shí)，函數(shù)輸出x。

我們計(jì)算它的導(dǎo)數(shù)來對(duì)比sigmoid：

然后是它的圖像，注意一點(diǎn)，它在0點(diǎn)不可微，所以當(dāng)x=0時(shí)，圖中y軸上應(yīng)該是兩個(gè)空心圓。

可以發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)的閾值終于不再是(0, 1)了，它好像可以避免梯度消失，但似乎又有點(diǎn)不對(duì)勁？當(dāng)我們把一個(gè)負(fù)值輸入到ReLU函數(shù)后，梯度為0，這時(shí)這個(gè)神經(jīng)元就“壞死”了。換句話說，如果存在負(fù)數(shù)權(quán)重，那某些神經(jīng)元可能永遠(yuǎn)不會(huì)被激活，導(dǎo)致相應(yīng)參數(shù)永遠(yuǎn)不會(huì)被更新。從某種意義上來說，ReLU還是存在部分梯度消失問題。

那么，我們?cè)撛趺催x擇呢？不急，這里還有一種激活函數(shù)——Leakly ReLU。

既然ReLU的“梯度消失”源于它的閾值0，那么我們可以把它重設(shè)成一個(gè)0到1之間的具體小數(shù)。這之后，當(dāng)輸入為負(fù)時(shí)，它還是具有非常小的梯度，這就為網(wǎng)絡(luò)繼續(xù)學(xué)習(xí)提供了機(jī)會(huì)。

上式中的ε=0.01，但它最常見的范圍是0.2-0.3。因?yàn)樾甭市?，輸入?fù)值權(quán)重后，它在圖像上是一條非常緩的線：

這里我們要聲明一點(diǎn)：雖然Leakly ReLU可以解決ReLU的神經(jīng)元壞死問題，但它的表現(xiàn)并不一定比ReLU更好。比如常數(shù)ε萬一過小，它就很可能會(huì)導(dǎo)致新的梯度消失。另一方面，這兩個(gè)激活函數(shù)有個(gè)共同的缺點(diǎn)，即不像tanh和sigmoid一樣輸出有界，如果是在RNN這樣很深的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)里，即便ReLU的導(dǎo)數(shù)是0或1，很小，但除了它我們還有那么多權(quán)重，多項(xiàng)連乘會(huì)導(dǎo)致非常大的輸出值，然后梯度就爆炸了。

所以總的來說，ReLU并沒有根治梯度消失這個(gè)問題，它只是在一定程度上緩解了矛盾，并產(chǎn)生了另一個(gè)新問題。這也是這些激活函數(shù)至今還能共存的原因——CNN用ReLU更常見，而RNN大多用tanh。在“玄學(xué)”的大背景下，這大概是新手入門機(jī)器學(xué)習(xí)后，接觸到的第一起trade off吧。