1、梯度下降法

梯度下降法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)時(shí)，梯度下降法的解是全局解。一般情況下，其解不保證是全局最優(yōu)解，梯度下降法的速度也未必是最快的。

梯度下降法的優(yōu)化思想：用當(dāng)前位置負(fù)梯度方向作為搜索方向，因?yàn)樵摲较驗(yàn)楫?dāng)前位置的最快下降方向，所以也被稱為是”最速下降法“。最速下降法越接近目標(biāo)值，步長(zhǎng)越小，前進(jìn)越慢。

缺點(diǎn)：

靠近極小值時(shí)收斂速度減慢，求解需要很多次的迭代；

直線搜索時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生一些問題；

可能會(huì)“之字形”地下降。

2、牛頓法

牛頓法最大的特點(diǎn)就在于它的收斂速度很快。

優(yōu)點(diǎn)：二階收斂，收斂速度快；

缺點(diǎn)：

牛頓法是一種迭代算法，每一步都需要求解目標(biāo)函數(shù)的Hessian矩陣的逆矩陣，計(jì)算比較復(fù)雜。

牛頓法收斂速度為二階，對(duì)于正定二次函數(shù)一步迭代即達(dá)最優(yōu)解。

牛頓法是局部收斂的，當(dāng)初始點(diǎn)選擇不當(dāng)時(shí)，往往導(dǎo)致不收斂；

二階海塞矩陣必須可逆，否則算法進(jìn)行困難。

關(guān)于牛頓法和梯度下降法的效率對(duì)比：

從本質(zhì)上去看，牛頓法是二階收斂，梯度下降是一階收斂，所以牛頓法就更快。如果更通俗地說(shuō)的話，比如你想找一條最短的路徑走到一個(gè)盆地的最底部，梯度下降法每次只從你當(dāng)前所處位置選一個(gè)坡度最大的方向走一步，牛頓法在選擇方向時(shí)，不僅會(huì)考慮坡度是否夠大，還會(huì)考慮你走了一步之后，坡度是否會(huì)變得更大。所以，可以說(shuō)牛頓法比梯度下降法看得更遠(yuǎn)一點(diǎn)，能更快地走到最底部。（牛頓法目光更加長(zhǎng)遠(yuǎn)，所以少走彎路；相對(duì)而言，梯度下降法只考慮了局部的最優(yōu)，沒有全局思想。）

根據(jù)wiki上的解釋，從幾何上說(shuō)，牛頓法就是用一個(gè)二次曲面去擬合你當(dāng)前所處位置的局部曲面，而梯度下降法是用一個(gè)平面去擬合當(dāng)前的局部曲面，通常情況下，二次曲面的擬合會(huì)比平面更好，所以牛頓法選擇的下降路徑會(huì)更符合真實(shí)的最優(yōu)下降路徑。

3、擬牛頓法

擬牛頓法的本質(zhì)思想是改善牛頓法每次需要求解復(fù)雜的Hessian矩陣的逆矩陣的缺陷，它使用正定矩陣來(lái)近似Hessian矩陣的逆，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算的復(fù)雜度。

擬牛頓法和最速下降法一樣只要求每一步迭代時(shí)知道目標(biāo)函數(shù)的梯度。通過(guò)測(cè)量梯度的變化，構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的模型使之足以產(chǎn)生超線性收斂性。這類方法大大優(yōu)于最速下降法，尤其對(duì)于困難的問題。另外，因?yàn)閿M牛頓法不需要二階導(dǎo)數(shù)的信息，所以有時(shí)比牛頓法更為有效。如今，優(yōu)化軟件中包含了大量的擬牛頓算法用來(lái)解決無(wú)約束，約束，和大規(guī)模的優(yōu)化問題。

4、小結(jié)

在機(jī)器學(xué)習(xí)中的無(wú)約束優(yōu)化算法，除了梯度下降以外，還有前面提到的最小二乘法，此外還有牛頓法和擬牛頓法。

梯度下降法和最小二乘法相比，梯度下降法需要選擇步長(zhǎng)，而最小二乘法不需要。梯度下降法是迭代求解，最小二乘法是計(jì)算解析解。如果樣本量不算很大，且存在解析解，最小二乘法比起梯度下降法要有優(yōu)勢(shì)，計(jì)算速度很快。但是如果樣本量很大，用最小二乘法由于需要求一個(gè)超級(jí)大的逆矩陣，這時(shí)就很難或者很慢才能求解解析解了，使用迭代的梯度下降法比較有優(yōu)勢(shì)。

梯度下降法和牛頓法/擬牛頓法相比，兩者都是迭代求解，不過(guò)梯度下降法是梯度求解，而牛頓法/擬牛頓法是用二階的海森矩陣的逆矩陣或偽逆矩陣求解。相對(duì)而言，使用牛頓法/擬牛頓法收斂更快。但是每次迭代的時(shí)間比梯度下降法長(zhǎng)。