1 引言

在家庭影院、卡拉OK等音響系統(tǒng)中，實時顯示音樂信號的頻譜將為音響系統(tǒng)增添不少色彩。目前實際生產(chǎn)的音響系統(tǒng)產(chǎn)品，大多采用以下兩種方法實現(xiàn)音頻頻譜顯示：一是利用硬件濾波器和A／D轉(zhuǎn)換器；二是利用DSP處理頻譜顯示。前者實現(xiàn)簡單，但硬件成本高，后者軟件和硬件實現(xiàn)都較復(fù)雜。這里針對單片機RAM資源少、運算速度慢的特點，提出一種切實可行的快速傅里葉變換算法實現(xiàn)頻譜顯示。

2 系統(tǒng)整體設(shè)計及原理

該系統(tǒng)設(shè)計由單片機SST89V58RD2、音頻數(shù)據(jù)采樣電路、A/D轉(zhuǎn)換電路、頻譜顯示電路等部分組成。圖1為系統(tǒng)整體設(shè)計原理框圖。

該系統(tǒng)從功能上可劃分成3部分：(1)音頻數(shù)據(jù)采集電路實現(xiàn)模擬音頻信號的采樣保持和量化處理，包括音頻采樣電路和加轉(zhuǎn)換電路；(2)頻譜顯示電路實現(xiàn)模擬音頻信號頻譜的分段顯示，它將音頻信號頻譜劃分成14段，每段按照14級量化，由VFD顯示器件顯示；(3)主控制器采用SST89V58RD2單片機。在完成系統(tǒng)其他控制任務(wù)的前提下，充分利用單片機剩余計算資源，采用優(yōu)化FFT算法計算音頻信號頻譜，并將計算結(jié)果輸出到頻譜顯示電路。

3 音頻信號的采集和預(yù)處理

3．1 采樣頻率

根據(jù)香農(nóng)采樣定理，一般采樣頻率至少應(yīng)為所采樣音頻信號最高頻率的2倍。由于人耳能夠感受的頻率為20 Hz~20 kHz，所以理論上采樣頻率最高取40 kHz。目前工業(yè)上廣泛采用的采樣頻率大致有3種：44 kHz、16 bit的聲音稱作CD音質(zhì)：22 kHz、16 bit的聲音效果近似于立體聲廣播(FMStereo)，稱作廣播音質(zhì)；11 kHz、8 bit的聲音稱作電話音質(zhì)。本文為提高頻譜計算的精度，擬采用40 kHz的采樣頻率和8Bit的數(shù)據(jù)位長。

3．2 樣本大小

采樣頻率確定后，還需確定樣本值，即完成一次FFT運算所需的采樣點數(shù)。根據(jù)數(shù)字信號處理的基本原理，假設(shè)采樣頻率為Fs，采樣點數(shù)為N，則FFT運算后，第n點所表示的頻率為：Fn=[(n-1)×Fs]／N(1≤n≤N)。Fn若要精確到Hz，則需采樣長度為(1/f)s的信號。提高頻率分辨率，需增加采樣點數(shù)，但這在一些實際應(yīng)用中是不現(xiàn)實的，則采用有頻率細分法，即采樣比較短時間的信號，然后在后面補充一定數(shù)量的0，使其長度達到所需的點數(shù)，再作FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨率。由于該系統(tǒng)是將音頻信號頻譜劃分成14段顯示，因此采用16點FFT運算，去掉第1點和第16點的結(jié)果即可。

3．3 音頻數(shù)據(jù)采集電路

A/D轉(zhuǎn)換器選用TLC549，它具有8位轉(zhuǎn)換結(jié)果，差分基準電壓輸入，3線數(shù)據(jù)串行輸出接口，轉(zhuǎn)換時間最大達17μs，每秒訪問和轉(zhuǎn)換次數(shù)達到40 000次，全部非校準誤差為±0．5LSB，低功耗，最大為15 mW。因此，該器件完全滿足系統(tǒng)40kHz采樣頻率的要求。

圖2為系統(tǒng)音頻數(shù)據(jù)采集電路。音頻信號于CD或DVD碟機輸出的音樂信號，因而基本無噪音，考慮到音頻信號是交流信號，電壓范圍在±0．1 V之間，而TLC549的輸入必須是直流的，電壓范圍為0～5 V，所以還需整流和放大的預(yù)處理過程。A／D轉(zhuǎn)換后得到8位數(shù)字值音頻幅值的8位數(shù)字量。

4 音頻頻譜算法

音頻頻譜值的計算采用快速傅里葉算法FFT(Fast Fourier Transform)，為了提高顯示器的刷新頻率，系統(tǒng)每隔10 ms讀取16次A／D轉(zhuǎn)換值，得到16點實數(shù)序列，緊接著完成16點FFT運算得到16點復(fù)數(shù)序列。

4．1 倒位序及其優(yōu)化算法

基2-FTT算法將原始數(shù)據(jù)倒位序存儲，但運算后的結(jié)果則按正常順序輸出。原始采樣數(shù)據(jù)放在數(shù)組float datalm[16]中，datalm[0]存放第1次讀取的A／D轉(zhuǎn)換值，datalm[1]存放第2次讀取的A／D轉(zhuǎn)換值，以此類推，可見第n(n=(b3b2b1b0)b)次讀取的A／D轉(zhuǎn)換值存放在dataIm[n]中。倒序操作后采樣數(shù)據(jù)存儲在float dataRe[16]中，原來第n次讀取的A／D轉(zhuǎn)換值存放在datalm[n](n=(b0b1b2b3)b)中。根據(jù)樣本大小在系統(tǒng)代碼段中建立倒序表數(shù)組，采用查表方式實現(xiàn)快速倒序操作，與移位操作等方法相比，可明顯提高運算速度。

4．2 蝶形運算及其優(yōu)化算法

根據(jù)基2-FFT算法，N點FFT運算可以分成log2N級，每一級都有N/2個蝶形運算，如圖3所示。

蝶形運算公式的推導(dǎo)過程如下：

將式(1)化簡成實部和虛部的形式，得到：

可見每個蝶形運算的輸出都是由其輸入值與某一正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的乘積累加得到的。由式(3)~式(6)編制正弦和余弦表，每次做蝶形運算時可查表加快運算速度。

基2-FFT算法的基本思想是用3層循環(huán)完成全部N點FFT運算：(1)最里層循環(huán)處理單獨的一個蝶形運算，采用查表方法實現(xiàn)乘法運算；(2)中間層循環(huán)完成每一級的N／2個蝶形運算；(3)最外層循環(huán)完成log2N級蝶形運算。

由此可看出：在每一級中，最里層循環(huán)完成N／2L個蝶形運算；中間層循環(huán)控制最里層循環(huán)進行2L-1次運算。因此，中間層循環(huán)完成時，共進行2L-1xN／2L=N／2個蝶形運算。實際上最里層和中間層循環(huán)完成了第L級計算，最外層則最終完成log2N級蝶形運算。

需要加以說明的數(shù)據(jù)是：(1)在第L級中，每個蝶形的兩個輸入端相距b=2L-1一個點；(2)同一乘數(shù)對應(yīng)著相鄰間隔為2L個點的N／2L個蝶形；(3)第L級的2L-1個蝶形因子WPN中的P，可表示為P=jx25-L，其中j=0，1，2，…(2L-1-1)。

完成16點FFT運算的RAM需求量是128字節(jié)，而單片機SST89V58RD2的RAM共1 K字節(jié)：顯示器每10 ms刷新一次，而單片機SST89V58RD2的時鐘頻率是40 MHz，完成一次16點FFT運算實際所需時間不到6 ms，因此該系統(tǒng)完全滿足FFT運算的時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度要求。

5 頻譜值在VFD上的顯示

系統(tǒng)要求將音頻信號頻譜劃分成14段，每段按14級量化，再使用VFD顯示器顯示，因此對于FFT運算結(jié)果還要作一定轉(zhuǎn)換才能輸出到顯示器。第n點的FFT運算結(jié)果是復(fù)數(shù)，實部是dataRe[n]，虛部是datalm[i]。該點的模值除以2／N就是對應(yīng)該頻率下信號的幅度(對于第1個點則是除以N)；該點的相位即是對應(yīng)該頻率下信號的相位。最后的結(jié)果保存在dataRe[i]中，因為音頻信號頻譜被劃分成14段，所以dataRe[0]和dataRe[15]的值應(yīng)該舍去。同時，dataRe[i]可能不是整數(shù)，而VFD顯示器要求每個頻段按照14級量化，因此還需將dataRe[i]的值量化成0～14整數(shù)，最后輸出到VFD電路上顯示。

6 結(jié)束語

討論了單片機實現(xiàn)音響系統(tǒng)頻譜顯示的快速傅里葉變換算法，針對SST89V58RD2單片機進行算法優(yōu)化，并詳細論述系統(tǒng)的實現(xiàn)方法，結(jié)果證明該方法具有可行性。