摘要晶體中原子的排列具有平移對稱性，平移對稱性限制了晶體只有n=1，2，3，4，6次轉(zhuǎn)動對稱。發(fā)現(xiàn)有8-次，10-次，12-次轉(zhuǎn)動對稱的準(zhǔn)晶。準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)是高維晶體結(jié)構(gòu)的投影。晶體和準(zhǔn)晶的定義統(tǒng)一于點狀衍射花樣。

1 晶體沒有五次旋轉(zhuǎn)軸

大自然為我們呈現(xiàn)了一種絕美的物質(zhì)結(jié)構(gòu)——晶體，金剛石、水晶、硫磺等等都是天然晶體。晶體有非常規(guī)則、對稱的外觀。就是從晶體小面(facet)的夾角為某些固定值的觀察事實，人們意識到晶體是由具有固定幾何形狀的單胞(unitcell)在空間中堆垛而來的——晶體學(xué)首先是幾何學(xué)。用數(shù)學(xué)的語言來描述，晶體具有這樣的性質(zhì)：若在空間某個點 r(x，y，z) 上有原子，存在三個線性不相關(guān)的基矢量a1，a2， a3， 在R = n1a1 + n2a2 + n3a3 + r處(n1， n2， n3 是任意整數(shù)) 必有原子。晶體的這個性質(zhì)，被表述為晶體中原子的排列具有平移對稱性，即晶體中任意由矢量n1a1 + n2a2 + n3a3聯(lián)系的兩點，是等價的。晶體具有平移對稱性帶來的一個重要限制是，晶體中只存在n=1，2，3，4，6 次轉(zhuǎn)動對稱性，即晶體中存在某些方向，以這些方向為軸轉(zhuǎn)動某個角度后，晶體中的局域原子環(huán)境不變(對于完美的晶體，從外觀上也能看出這一點)，這些角度可表示為θ = 2π/n ，n=1，2，3，4，6。考察一個正方體(圖1)，容易看到穿過對邊中心的軸，是2 次轉(zhuǎn)動軸(C2)，轉(zhuǎn)過θ = π 角后，注意不到正方體被轉(zhuǎn)動了；穿過對面中心的軸，是4 次轉(zhuǎn)動軸(C4)，轉(zhuǎn)過θ = π/2 角后，注意不到正方體被轉(zhuǎn)動；穿過對頂角的軸， 是3 次轉(zhuǎn)動軸(C3)， 轉(zhuǎn)過θ = 2π/3 角后，注意不到正方體被轉(zhuǎn)動。在蜂窩那樣的晶體結(jié)構(gòu)中，穿過每個六角形單元中心的軸是6 次轉(zhuǎn)動軸。那么，怎么證明晶體的轉(zhuǎn)動軸只允許n=1，2，3，4，6 這幾種情形呢？

圖1 正方體的2-次、3-次和4-次轉(zhuǎn)動軸

證明如下，見圖2。若晶體允許n 次轉(zhuǎn)軸，考察某個方向上相鄰的三個原子。繞過原子O 的n 次軸將聯(lián)系OA 的線段順時針轉(zhuǎn)過θ = 2π/n 角，原子A落在點A'上；繞過原子O 的n 次軸將聯(lián)系OB 的線段逆時針轉(zhuǎn)過θ = 2π/n 角，原子B落在點B'上。按照平移對稱性和轉(zhuǎn)動對稱性的定義，點A' 和點B'也都是等價的原子占位，線段A' B'與AB平行，其長度必是OA長度的整數(shù)倍，即2cos(2π/n) 必須是個整數(shù)，解為n=1，2，3，4，6。其中，n=1是平凡的，可以忽略。關(guān)于這個問題的證明，是固體物理的常識。

圖2 平移對稱與轉(zhuǎn)動對稱性的關(guān)聯(lián)

2 準(zhǔn)晶

細(xì)心的讀者可能已經(jīng)注意到了，晶體中沒有5 次轉(zhuǎn)軸，n=5 被跳過了。跳過就跳過了，沒啥遺憾的，大自然的奧妙自有其合理處。但也有人把找到5 次對稱的鋪排方式(Tessellation. 晶體可以理解為用同一種磚塊鋪滿整個空間的結(jié)果)當(dāng)成挑戰(zhàn)。作為數(shù)學(xué)游戲，彭羅斯(Roger Penrose，1931— )于1974 年給出由兩種結(jié)構(gòu)單元組成的彭羅斯鋪排圖案，該二維圖案整體上具有5 次轉(zhuǎn)動對稱性(圖3)。彭羅斯的鋪排方案，用了兩種磚塊且沒有平移對稱性，不算晶體結(jié)構(gòu)。

圖3 一種彭羅斯鋪排

沒有平移對稱性，對于固體物理學(xué)家來說麻煩很大的。若一塊固體是晶體，其中原子的位置是有規(guī)則的，能用一個簡單的數(shù)學(xué)表達式寫下來，那關(guān)于晶體的定態(tài)薛定諤方程（-?2/2m ?2 + V (r))ψ = Eψ 中的勢能V (r)就是可以簡單表達的，晶體中電子的色散關(guān)系E = E(k) 就是可解的。解得靠譜不靠譜再說，反正這個過程讓物理學(xué)家理解了什么是導(dǎo)體，什么是絕緣體，由此提出了半導(dǎo)體的概念，從而徹底地改變了我們的世界。如果遇到了外觀和內(nèi)部原子排列看似都很規(guī)則的固體，竟然沒有平移對稱性，那固體物理學(xué)該如何處理？

有這樣的固體嗎？如果沒有這樣的固體，為什么要杞人憂天呢？

1984 年，人們在Al-Mn 合金的透射電鏡衍射圖像中看到了10 次對稱圖案，這是完美晶體中不會出現(xiàn)的。緊接著在很多樣品中觀察到了10 次對稱衍射花樣(圖4)，由此人們注意到了準(zhǔn)晶存在1)。準(zhǔn)晶中原子排列是有序的，但沒有平移對稱性，所以被稱為準(zhǔn)晶(quasicrystal)。目前確認(rèn)存在具有8-次，10-次和12-次轉(zhuǎn)動對稱性的三維準(zhǔn)晶。

圖4 AlNiCo合金的電子衍射花樣

準(zhǔn)晶的發(fā)現(xiàn)，讓許多學(xué)科的研究者都很興奮了一陣子，對準(zhǔn)晶的研究從數(shù)學(xué)到文化，從物理到材料，可算是全方位展開。這其中，關(guān)于準(zhǔn)晶的數(shù)學(xué)研究，多有出人意料的成果。此前的彭羅斯鋪排圖案，就算是準(zhǔn)晶研究的先驅(qū)了。5-次轉(zhuǎn)軸和2π/5 轉(zhuǎn)角、黃金分割數(shù)φ = (√5 + 1)/2 有關(guān)。注意，黃金分割數(shù)還可以寫成φ = 0.5 × 50.5 + 0.5 ，它和斐波那契數(shù)列1， 1， 2， 3，5，8，13，21，34，55，89……有關(guān)，是斐波那契數(shù)列相鄰兩項之商的極限。斐波那契數(shù)列的核心性質(zhì)是Fn + Fn+1 = Fn+2 ，即每一項的值是前兩項的值之和。按照斐波那契數(shù)列方式排列的結(jié)構(gòu)，就和黃金分割數(shù)有關(guān)系，就和5 次轉(zhuǎn)動有關(guān)。比如，假如有一大一小兩個結(jié)構(gòu)單元，按照小大，小大大，小大大小大…… 方式排列， 這個排列很有序，其每一處的結(jié)構(gòu)模塊由前面兩個結(jié)構(gòu)模塊按照先來后到的方式拼接而成(這就是斐波那契數(shù)列的定義)，但是沒有平移對稱性。如圖5中沿著紅線自左下向右上，紅線被黑色方塊切成的線段的排列就是短長，短長長，短長長短長……的方式，這是一維準(zhǔn)晶。但是，注意黑方塊組成的二維圖案，將一小一大兩個方塊當(dāng)成一個結(jié)構(gòu)單元，這是一個簡單方格子(square lattice) 結(jié)構(gòu)，它是二維的晶體。二維晶體在某個方向上的投影，如圖5中方格子在紅線上的投影，竟然是一維準(zhǔn)晶！

圖5 由一大一小兩個方塊拼在一起作為單元的方格子，其在紅線上的投影是斐波那契數(shù)列表征的一維準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)

這個關(guān)于二維晶體在某個方向上的投影竟然是一維準(zhǔn)晶的描述，不是很令人信服。請允許我給個稍微數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)點的表述。考察二維格子(Z2)，即每個格點的坐標(biāo)是一對整數(shù)(m，n)的方格子2)(圖6)。作直線 y = (φ - 1) ? x 用來投影，過點(0，1)和(1，0)的作線 y = (φ - 1) ? x的平行線(圖6 中的兩條虛線)。考察這兩條平行線所形成的帶狀區(qū)域(晶格的一部分)中的格點，將每個格點投影到 y = (φ - 1) ? x 直線上。你會發(fā)現(xiàn)，這格點的投影，相互之間只有一大一小兩種間距。從這個意義上說，這些分布是有序的，但是卻沒有平移對稱性。如果你取一部分出來觀察，會發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列描述的分布，那些投影點形成了一維準(zhǔn)晶。

圖6 方格子Z2以及用來投影的直線

這太有趣啦。有序的準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)，沒有平移對稱性，但竟然是某個高維晶格的恰當(dāng)投影(投到恰當(dāng)選擇的低維對象上)。到高維空間讓我們能夠理解準(zhǔn)晶隱蔽的結(jié)構(gòu)。那么，準(zhǔn)晶，都是更高維空間中某個晶體結(jié)構(gòu)的投影嗎？是嗎，不是嗎？怎么證明？

要證明準(zhǔn)晶是高維晶體的合適的投影，一種是數(shù)學(xué)意義上的嚴(yán)格證明，從某些靠得住的公理、定理出發(fā)，邏輯地一步一步導(dǎo)出所有的準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)。一種是有點物理味道的證明，如果能找到合適的方法，能構(gòu)造出準(zhǔn)晶作為其投影的高維晶體結(jié)構(gòu)， 擺在那兒， 那也是一種證明！

一旦明確了尋找投影為準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)的高維晶體這樣的研究方向，對于熟悉自19 世紀(jì)就發(fā)展了的高維幾何的數(shù)學(xué)家來說，這還真不是難事。舉一例來說明一個準(zhǔn)備性工作，五種柏拉圖固體中的正十二面體和正二十面體是具有五次轉(zhuǎn)動軸的，而已發(fā)現(xiàn)的晶體中就有十次和十二次準(zhǔn)晶，正十二面體就不可避免地成了關(guān)注的對象。數(shù)學(xué)家小試牛刀，發(fā)現(xiàn)連接著自中心到正十二面體頂點的12 個矢量是六維歐幾里得空間E6 中6 維正方形對角線組成的交叉到3 維歐幾里得空間E3空間上的投影。1995 年前后，塞內(nèi)夏爾(M. Senechal)給出了能得到準(zhǔn)晶點集的正則投影法和多格網(wǎng)法，非常有效地用于構(gòu)造投影具有非晶體轉(zhuǎn)動對稱性的點集的高維晶格。比如，Z5 空間中的5 維立方格子投影到一個面上，可以得到的點集可看作2 維準(zhǔn)晶(圖7)。高維空間當(dāng)然容納更多的結(jié)構(gòu)，不只是準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)，其它轉(zhuǎn)動對稱性的結(jié)構(gòu)也容易找到相應(yīng)的高維晶格。5-次，10-次，8-次和12-次轉(zhuǎn)動對稱的平面結(jié)構(gòu)都可以從4維晶格得到。

圖7 5維立方格子投影到一個面上可得到2維準(zhǔn)晶(局部)

3 維度啊維度

《三體》中有一個梗，說三體人對咱們地球人的攻擊是“降維攻擊”。這人與人之間的差別不在廣度(extension)，擁有相同維度(dimension)的不同空間能差到哪兒去？怕就怕差在維度上。平面上有一條線，隨機在平面上畫點，點落到線上的概率為零。點當(dāng)然可以落到那條線上，還可以有無窮多個點落到那條線上，但點落到那條線上的概率依-然-為-零！可憐的1 維的線，面對2 維的面，它都不知道自己的無窮大都是0。

從更高維度看三維真實空間里的物理問題，能看透更多本質(zhì)性的東西。養(yǎng)成到更多維度的空間中看問題的習(xí)慣，物理學(xué)家要多向數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)。三維(二維)晶體只有n=1，2，3，4，6 次轉(zhuǎn)動軸的事實，引出了晶體限制定理(crystallographic restriction theorem)。如果我們跳到更多維度的空間里去看這個問題，就要轉(zhuǎn)換思路。高維空間里的轉(zhuǎn)動，不再是平面型的(planar)，應(yīng)使用N×N轉(zhuǎn)動矩陣討論為宜，關(guān)切的是整數(shù)矩陣(integer matrix)話題。函數(shù)OrdN是N×N轉(zhuǎn)動矩陣A 允許的階數(shù)k，即使得Ak = 1 的k 的取值。對于真實晶體涉及的晶體限制定理，它敘述的事實是Ord2=(1， 2， 3，4， 6)。欲實現(xiàn)8- 次， 10-(5-) 次，12-次轉(zhuǎn)動，要求轉(zhuǎn)動矩陣至少是4 × 4。注意Ord4=(5， 8， 10， 12)，準(zhǔn)晶恰好是有8-，10-(5-)次，12-次轉(zhuǎn)動軸，或許這說明準(zhǔn)晶與4維空間有緣，它應(yīng)該就是4 維空間里的晶體。Ord6=(7，9，14，15，18，24)，也許6 維空間離咱們太遠(yuǎn)，所以觀察不到7- 次， 9- 次對稱的物質(zhì)結(jié)構(gòu)。說不定哪天會遇到呢，天知道。

4 后來的事

晶體中的原子具有平移對稱性，準(zhǔn)晶中原子排列是有序的，但不具有平移對稱性。準(zhǔn)晶與晶體有明顯的可區(qū)別的特征。但是，當(dāng)我們認(rèn)識到準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)必定是高維晶體的投影，此一發(fā)現(xiàn)又表明晶體和準(zhǔn)晶之間似乎沒有必然的界限。堅持分別晶體和準(zhǔn)晶涉嫌犯了執(zhí)念。這事兒最終的解決方案有點兒出乎意料，原來的晶體和準(zhǔn)晶都統(tǒng)一為晶體了，但是晶體的定義改變了。晶體的定義特征不再是原子排列具有平移對稱性，而是說衍射圖案(原子排列的傅里葉變換)由明銳的點組成的結(jié)構(gòu)是晶體。

我們的世界是三維的，人類生活在二維的地表上。早在古希臘時期，關(guān)于二維、平直空間的平面幾何就已經(jīng)成了系統(tǒng)化的知識了，關(guān)于三維空間的立體幾何也多有談?wù)摚歉呔S幾何概念的發(fā)展要到19 世紀(jì)才由哈密頓(Sir William Rowan Hamilton，1805—1865)、凱雷(Arthur Cayley，1821—1895)，施萊夫利(Ludwig Schl?fli，1814—1895)和黎曼(Bernhard Riemann，1826—1866)等人來開拓。把我們的幾何觀念從習(xí)慣的、可經(jīng)驗的三維世界拓展到四維以上的世界要延宕到19 世紀(jì)，原因除了思維慣性以外，很多人頭腦中不能構(gòu)建高維圖形也是一個重要原因。直觀不行，那就要借助數(shù)學(xué)的手段，mathematics makes the invisible visible，信矣哉！

順便說一句，由高維晶體投影并不是得到準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)的唯一途徑。筆者的學(xué)生廖龍光博士就用函數(shù)y = arcsin(sin(2πμn))，其中變量n取整數(shù)， μ =√2 - 1 和μ =2 -√3 ，分別得到了8-次和12-次準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)。這里的奧秘是，熟悉相關(guān)的數(shù)學(xué)并且不辭辛苦地嘗試。旁人能看到的是研究者的靈感，但靈感來自實踐。

1) 準(zhǔn)晶雖然是在人工樣品中先發(fā)現(xiàn)的，但大自然中存在準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)的礦物，準(zhǔn)晶原子結(jié)構(gòu)花樣此前也早被人類作為純粹的裝飾圖案構(gòu)思出來了。

2)也可以把坐標(biāo)(m，n)表示成m+i·n。這樣的復(fù)數(shù)稱為高斯整數(shù)，筆者就是利用高斯整數(shù)證明了方格子在無窮多個方向上具有縮放對稱性，參見筆者著《一念非凡》。