在之前的濾波器教程中，我們研究了簡單的一階型低通和高通濾波器，它們的RC濾波器電路設(shè)計(jì)中只包含一個(gè)電阻器和一個(gè)無功元件（電容器）。

在使用濾波器對信號的頻譜進(jìn)行整形的應(yīng)用中，例如在通信或控制系統(tǒng)中，滾降的形狀或?qū)挾纫卜Q為“過渡帶”，對于簡單的一階濾波器，可能是太長或太寬，因此需要設(shè)計(jì)有多個(gè)“訂單”的有源濾波器。這些類型的過濾器通常稱為“高階”或“n th -order”過濾器。

復(fù)雜性或過濾器類型由過濾器“order”定義，這取決于其設(shè)計(jì)中的電容器或電感器等無功元件的數(shù)量。我們還知道，滾降率和過渡帶的寬度取決于濾波器的階數(shù)和簡單的一階濾波器，它具有20dB / decade或6dB的標(biāo)準(zhǔn)滾降率。 /octave.

然后，對于具有n th 數(shù)字順序的濾波器，它將具有20n dB / decade或6n dB / octave的后續(xù)滾降率。因此，一階濾波器的滾降率為20dB / decade（6dB /倍頻程），二階濾波器的滾降率為40dB / decade（12dB /倍頻程），四階濾波器具有滾降率為80dB / decade（24dB / octave）等等。

高階濾波器，例如三階，四階和五階通常是通過單個(gè)級聯(lián)在一起形成的 -

例如，兩個(gè)二階低通濾波器可以級聯(lián)在一起，產(chǎn)生一個(gè)四階低通濾波器，依此類推。盡管可以形成的濾波器的順序沒有限制，但隨著順序的增加，其尺寸和成本也會(huì)增加，其精度也會(huì)下降。

十年和八度

一個(gè)關(guān)于十年和 Octaves 的最終評論。在頻率范圍內(nèi)，十年是十倍增加（乘以10）或十倍減少（除以10）。例如，2到20Hz代表十年，而50到5000Hz代表二十年（50到500Hz，然后是500到5000Hz）。

Octave是倍增（乘以2）或?qū)㈩l率刻度減半（除以2）。例如，10到20Hz代表一個(gè)倍頻程，而2到16Hz是三個(gè)倍頻程（2到4,4到8，最后是8到16Hz），每次倍頻。無論哪種方式，對數(shù)標(biāo)度在頻域中廣泛用于表示使用放大器和濾波器時(shí)的頻率值，因此了解它們非常重要。

對數(shù)頻率標(biāo)度

h3>

由于頻率確定電阻器全部相等，并且頻率確定電容器，截止或角落也是如此第一，第二，第三或甚至四階濾波器的頻率（? C ）也必須相等，并使用我們現(xiàn)在熟悉的等式找到： / p>

與一階和二階濾波器一樣，三階和四階高通濾波器由簡單地在等效低通濾波器中交換頻率確定部件（電阻器和電容器）的位置。可以按照我們之前在低通濾波器和高通濾波器教程中看到的步驟設(shè)計(jì)高階濾波器。但是，高階濾波器的總增益是固定的因?yàn)樗蓄l率確定分量都相等。

濾波器近似值

到目前為止，我們已經(jīng)看過了低通和高通一階濾波器電路，它們產(chǎn)生的頻率和相位響應(yīng)。一個(gè)理想的濾波器將為我們提供最大通帶增益和平坦度的規(guī)范，最小阻帶衰減以及阻止頻帶滾降（轉(zhuǎn)換頻帶）的非常陡峭的通帶，因此顯然會(huì)有大量的網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)滿足這些要求。

毫不奇怪，線性模擬濾波器設(shè)計(jì)中有許多“近似函數(shù)”，它們使用數(shù)學(xué)方法來最好地逼近濾波器設(shè)計(jì)所需的傳遞函數(shù)。

這種設(shè)計(jì)被稱為Elliptical，Butterworth，Chebyshev，Bessel，Cauer以及許多其他人。在這五個(gè)“經(jīng)典”線性模擬濾波器近似函數(shù)中，只有Butterworth濾波器，尤其是低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)在這里被認(rèn)為是最常用的函數(shù)。 / p>

低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)

巴特沃斯濾波器近似函數(shù)的頻率響應(yīng)通常也被稱為“最大平坦”（無波紋）響應(yīng)，因?yàn)橥◣гO(shè)計(jì)為具有頻率響應(yīng)，該頻率響應(yīng)在數(shù)學(xué)上可以從0Hz（DC）變?yōu)槠教梗钡?3dB的截止頻率沒有紋波。超過截止點(diǎn)的較高頻率在阻帶中以20dB / decade或6dB /倍頻程下降至零。這是因?yàn)樗哂小百|(zhì)量因子”，“Q”僅為0.707。

然而，Butterworth濾波器的一個(gè)主要缺點(diǎn)是它以寬帶過渡帶為代價(jià)實(shí)現(xiàn)了這種通帶平坦度。當(dāng)濾波器從通帶變?yōu)樽鑾r(shí)。它的相位特性也很差。對于不同的濾波器階數(shù)，理想的頻率響應(yīng)（稱為“磚墻”濾波器）和標(biāo)準(zhǔn)巴特沃斯近似值如下所示。

巴特沃斯濾波器的理想頻率響應(yīng)

請注意，巴特沃斯濾波器階數(shù)越高，濾波器設(shè)計(jì)中的級聯(lián)級數(shù)越高，濾波器越接近理想的“磚墻”然而，在實(shí)踐中，Butterworth的理想頻率響應(yīng)是無法實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樗鼤?huì)產(chǎn)生過多的通帶紋波。

其中廣義方程表示“nth”訂購Butterworth濾波器，頻率響應(yīng)如下：

其中： n 表示濾波器順序，Omega ω等于2π?，Epsilon ε是最大通帶增益（A max ）。如果A max 的定義頻率等于截止-3dB角點(diǎn)（?c），則ε將等于1，因此ε 2 也將是一個(gè)。但是，如果您現(xiàn)在希望將A max 定義為不同的電壓增益值，例如1dB或1.1220（1dB = 20 * logA max ）則新值epsilon，ε可通過以下方式找到：

轉(zhuǎn)換等式給出：

過濾器的頻率響應(yīng)可以通過傳遞函數(shù)<在數(shù)學(xué)上定義/ b>標(biāo)準(zhǔn)電壓傳遞函數(shù) H（jω）寫為：

注意：（jω）也可以寫成（s）來表示S域。和結(jié)果傳遞函數(shù)一秒鐘 - 階低通濾波器如下：

歸一化低通巴特沃斯濾波器多項(xiàng)式

幫助他的設(shè)計(jì)低通濾波器，Butterworth生成歸一化二階低通多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)表，給出系數(shù)值對應(yīng)于1弧度/秒的截止轉(zhuǎn)角頻率。

（1個(gè)+ S）（1 + 0.618s + S 2 ）（1 + 1.618s + S 2 ）

濾波器設(shè)計(jì) - 巴特沃斯低通

查找有源低通巴特沃斯濾波器的順序其規(guī)格如下： A max = 0.5dB ，通帶頻率（ωp）為200弧度/秒（31.8Hz），在800弧度/秒的阻帶頻率（ωs）處， A min = -20dB 。還要設(shè)計(jì)合適的巴特沃斯濾波器電路以滿足這些要求。

首先，最大通帶增益 A max = 0.5dB 等于增益1.0593，記住：0.5dB = 20 * log（A），頻率（ωp）為200 rads / s，因此epsilon ε的值可通過以下方式找到：

其次，最小阻帶增益A min = -20dB，等于增益（-20dB = 20 * log（A））在800 rads / s或127.3Hz的阻帶頻率（ωs）。

代替值為Butterworth濾波器頻率響應(yīng)的一般方程給出了以下內(nèi)容：

自 n 必須始終為整數(shù)（整數(shù)），然后下一個(gè)最高值為2.42 n = 3 ，因此需要“三階濾波器”并且要產(chǎn)生三階巴特沃茲濾波器，需要與一階濾波器級級聯(lián)的二階濾波器級。

從歸一化低通Butte上面的rworth多項(xiàng)式表，三階濾波器的系數(shù)給出為（1 + s）（1 + s + s 2 ），這給了我們一個(gè)增益 3-A = 1 ，或 A = 2 。當(dāng) A = 1 +（Rf / R1）時(shí)，為反饋電阻 Rf 和電阻 R1 選擇一個(gè)值會(huì)得到1kΩ和1kΩ分別為：（1kΩ/1kΩ）+ 1 = 2 。

我們知道截止角頻率，-3dB點(diǎn)（ω o ）可以使用公式 1 / CR 找到，但我們需要找到ω o 來自通帶頻率ω p 然后，

因此，截止轉(zhuǎn)角頻率為284 rads / s或45.2Hz，（284 /2π）并使用熟悉的公式 1 / CR 我們可以找到三階電路的電阻和電容值。

注意最接近的首選值為0.352 uF為0.36uF，或 360nF 。

三階巴特沃斯低通濾波器

最后我們的三階低通電路巴特沃斯濾波器帶有截止角啁啾為284 rads / s或45.2Hz，最大通帶增益為0.5dB，最小阻帶增益為20dB，構(gòu)造如下：

因此我們的三階巴特沃斯低通濾波器的轉(zhuǎn)折頻率為45.2Hz，C = 360nF且R =10kΩ