1．所謂標準二階系統:

⑴. 系統方塊圖：如圖4-1所示。

⑵.開環傳遞函數：
⑶．閉環傳遞函數:

⑷．特征方程：

(5). 特征根：

２．以之根跡:

(1).時:為兩相異實根。
(2).時:為兩相等實根。
⑶．時:為一對共軛復根。其實部始終為。虛部為。這意味著這些復根都集中在根平面上離虛軸處的垂直線上。

⑷．據上分析可畫出,如圖4-2所示,標準二階系統之根跡（粗線）。

圖中：
× ……表示開環極點(0,-p)。
……表示開環零點(本例無)。
……表示閉環極點(sb)。
→……表示K的增長方向。
有了系統的根規跡圖，閉環極點在根平面上的分布就一目了然了。系統的性能也就有數了。

4.1.2 討論：

⒈ 此二階系統有兩條根跡,分別出發自開環極點0及-p。

⒉ 在0≤K＜p2/4即K增加時,根跡向(-p/2,j0)點移動,位于負實軸上。對應于系統過阻尼運動，即兩相異負實根。

⒊ 當K=p2/4時為兩相等負實根。對應于系統臨界阻尼運動。

⒋ 當K＞p2/4時，為一對共軛復根。對應于系統欠阻尼運動，處于衰減振蕩。K越大，ωd越高。但由于σd=p/2=Constat，所以ts變化不大。對應于 =p2/2,阻尼系數ξ=0.707, ωn=20.5P/2。

⒌ 由此根跡可看出系統的性能，隨K的變化而變化。

4.1.3 結語：

⒈ 根跡，是指系統特征方程D(s)=0的根sb (閉環極點)，隨系統參數的變化而變化的過程,在根平面上所形成的軌跡。從根跡圖，可以看出系統參量的變化,對系統閉環極點在根平面上分布的影響。以及它們與系統性能的關系。

⒉ 理論上，隨便變動某參數，都可得到相應的根跡。但最常用的是變化開環增益k，即K。其相應的根跡謂常規根跡。

⒊ 上述二階系統的根跡，通過對D(s)=0求解sb ,而作出的。但對高階系統的求解，是很困難的。實際上，常根據根跡的一些數學性質，用圖解的辦法，能較快地、大致地畫出滿足一定要求的根跡。現在,由于計算機的高度發展,有相應的軟件,能很方便地、較精確地畫出系統的根跡。Matlab就是一個強有力的工具。