近年來，Donoho等人提出的Curvelet變換引起了有關(guān)研究人員的密切關(guān)注尤其在圖像處理領(lǐng)域，它被認(rèn)為即將成為一項(xiàng)非常有用的新技術(shù)Curvelet變換是在研究小波變換的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，它克服了小波變換在應(yīng)用中的不足，顯示出了許多獨(dú)到之處眾所周知，在小波變換出現(xiàn)的近20年間，它在信號(hào)處理中的應(yīng)用得到了很大的發(fā)展，其地位也日益重要根本上講，這得益于小波變換能夠高效地對(duì)一維分段連續(xù)信號(hào)進(jìn)行分析對(duì)于二維圖像處理，常用的二維小波是一維小波的張量積，采用分離的變換核先對(duì)圖像做水平方向的小波變換，然后再進(jìn)行垂直方向的小波變換，這樣的二維小波變換的基是各向同性的（isotropic），變換系數(shù)的局部模極大值只能反映出這個(gè)小波系數(shù)出現(xiàn)的位置是過邊緣（acrossedge）的，而無法表達(dá)沿邊緣（alongedge）的信息，這就使得傳統(tǒng)小波變換在處理二維圖像時(shí)表現(xiàn)出一定的局限性針對(duì)小波變換的上述缺點(diǎn)，Donoho等人提出Curvelet變換理論，其各向異性特征非常有利于圖像邊緣的高效表示這一特點(diǎn)使得Curvelet變換自1999年問世以來得到了相關(guān)研究者的高度重視，在圖像處理和分析中已經(jīng)取得了很多研究成果本文將扼要介紹Curvelet變換在圖像去噪、圖像增強(qiáng)、圖像融合、圖像恢復(fù)等幾個(gè)方面的應(yīng)用，結(jié)合研究中實(shí)現(xiàn)的部分算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)說明，并探討它的發(fā)展趨勢(shì)及一些有待進(jìn)一步研究的問題

　　curvelet的性質(zhì)

　　小波變換是一種具有較強(qiáng)時(shí)、頻局部分析功能的非平穩(wěn)信號(hào)分析方法成功地應(yīng)用于信號(hào)的特征提取領(lǐng)域，曲波變換作為新一代的多尺度幾何分析工具取得了較好的識(shí)別效果，它考慮了尺度、位置、角度信息使其在表達(dá)圖像中的曲線時(shí)明顯優(yōu)于小波變換。

　　Curvelet變換各向異性的特點(diǎn)更適合分析圖像中的曲線或直線狀邊緣特征。

　　符合生理學(xué)研究指出的“最優(yōu)”圖像表示方法應(yīng)該具有的三種特征，多分辨、帶通、具有方向性。

　　Curvelet變換的基本理論

　　如前所述，小波變換在某些應(yīng)用中長期受到沿邊緣信息表達(dá)能力不足的困擾，雖然研究人員提出不少改進(jìn)方法，但都沒有從本質(zhì)上進(jìn)行革新為克服這一局限，1998年Cands提出了Ridgelet變換：對(duì)圖像進(jìn)行Radon變換，即把圖像中的一維奇異性，比如圖像中的直線，映射成Radon域的一個(gè)點(diǎn)，然后用一維小波進(jìn)行點(diǎn)奇異性的檢測(cè)，從而有效地解決了小波變換在處理二維圖像時(shí)的問題然而，自然圖像中的邊緣線條以曲線居多，對(duì)整幅圖像進(jìn)行單尺度Ridgelet分析并不十分有效，因此需要對(duì)圖像進(jìn)行分塊，使每個(gè)分塊中的線條都近似直線，再對(duì)每個(gè)分塊進(jìn)行Ridgelet變換，這就是多尺度Ridgelet由于多尺度Ridgelet分析冗余度很大，Donoho等人提出了Curvelet變換：首先對(duì)圖像進(jìn)行子帶分解;然后對(duì)不同尺度的子帶圖像采用不同大小的分塊;最后對(duì)每個(gè)塊進(jìn)行Ridgelet分析每個(gè)子塊的頻率帶寬width、長度length近似滿足關(guān)系width=length2這種頻率劃分方式使得Curvelet變換具有強(qiáng)烈的各向異性，而且這種各向異性隨著尺度的不斷縮小呈指數(shù)增長研究表明，用有限的系數(shù)來逼近一段C2連續(xù)的曲線時(shí)，Curvelet變換的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于傅里葉變換和小波變換換言之，對(duì)此類曲線而言，Curvelet變換是其最稀疏的表示方法總之，Curvelet結(jié)合了Ridgelet變換的各向異性特點(diǎn)和小波變換的多尺度特點(diǎn)，因此它的出現(xiàn)對(duì)于二維信號(hào)分析具有里程碑式的意義

　　下面簡要介紹Curvelets變換的主要步驟

　　上式表明Ridgelet變換是對(duì)Radon變換的切片的一維小波分析，其中方向角是固定的，而變量t是小波分析的對(duì)象

　　Curvelet變換的數(shù)字實(shí)現(xiàn)

　　根據(jù)上述理論，Starck等人提出了一種Curvelet變換的數(shù)字實(shí)現(xiàn)算法，其主要步驟為

　　子帶分解采用trous小波算法把圖像分解到不同的子帶

　　分塊每一個(gè)子帶加窗處理，而且每隔一個(gè)子帶，窗口的寬度增加一倍

　　數(shù)字Ridgelet分析對(duì)每一個(gè)正方塊進(jìn)行Ridgelet變換其中包括二維傅氏變換、直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)、在各角度對(duì)應(yīng)直線上分別作一維傅氏逆變換和一維小波變換等幾個(gè)中間步驟

　　數(shù)字Curvelet逆變換的實(shí)現(xiàn)只需將上述步驟逆序進(jìn)行即可。

　　Curvelet變換的應(yīng)用

　　由前述的Curvelet變換基本思想及其特性可知，它相對(duì)于小波變換的最大特點(diǎn)是具有高度的各向異性，因此具有更強(qiáng)的表達(dá)圖像中沿邊緣信息的能力在圖像處理中，邊緣往往是最重要的特征，它對(duì)于進(jìn)一步的處理和分析有著至關(guān)重要的意義而在實(shí)際情況中，圖像邊緣又常被其他因素削弱，比如為噪聲所掩蓋，等等在這種環(huán)境下，Curvelet變換所表達(dá)的沿邊緣信息對(duì)于恢復(fù)圖像主要結(jié)構(gòu)的視覺特征的優(yōu)勢(shì)是不言而喻的下面主要介紹Curvelet變換在圖像去噪、增強(qiáng)、融合、恢復(fù)等幾個(gè)方面的應(yīng)用方法及其效果

　　利用Curvelet變換抑制圖像噪聲

　　去除加性噪聲

　　傳統(tǒng)的圖像隨機(jī)噪聲消除或抑制的方法可分為頻域?yàn)V波方法和空域平滑方法，其缺點(diǎn)是都要損失大量的圖像信息目前較新而且有效的去噪方法是小波域?yàn)V波但是小波算法用于圖像去噪有內(nèi)在的局限性，因?yàn)閷?duì)圖像進(jìn)行二維小波變換以后，重要邊緣上的系數(shù)即使在很精細(xì)的尺度下也很大，這意味著要重建圖像邊緣，就必須保留大量的小波系數(shù)根據(jù)統(tǒng)計(jì)原理，數(shù)據(jù)的精簡與其精確性之間有矛盾，即便取二者之間最好的折衷，仍將導(dǎo)致較高的均方誤差由于Curvelet變換能用極少的非零系數(shù)精確表達(dá)圖像邊緣，因此可以在保證較低的均方誤差基礎(chǔ)上，達(dá)到較理想的圖像數(shù)據(jù)的精簡性與精確性的平衡，從而體現(xiàn)出它在噪聲環(huán)境下優(yōu)于小波的表達(dá)圖像的能力

　　基于Curvelet變換的去噪算法概要：對(duì)圖像進(jìn)行Curvelet變換，然后對(duì)每個(gè)子帶的變換系數(shù)做硬閾值處理，最后進(jìn)行Curvelet逆變換得到去噪圖像在閾值的選取上，是保留較大的系數(shù)，舍棄較小的系數(shù)，因?yàn)楦鶕?jù)Curvelet變換理論，較大的Curvelet系數(shù)對(duì)應(yīng)于較強(qiáng)的邊緣，反之為噪聲圖1是我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中截取的Lena圖像去噪的部分結(jié)果，其中圖1（a）為高斯噪聲污染的原圖，圖1（b）為非抽樣小波去噪結(jié)果，圖1（c）為Curvelet去噪結(jié)果

　　通過對(duì)幾幅內(nèi)嵌高斯白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果顯示Curvelet算法的峰值信噪比（PSNR）高于多數(shù)基于小波的方案，而且Curvelet重建的圖像不會(huì)產(chǎn)生像小波重建圖像的沿邊緣的走樣（artifact）如抽樣小波算法會(huì)產(chǎn)生邊界扭曲現(xiàn)象并損失大量細(xì)節(jié);非抽樣小波的邊界效果雖然略好，但有時(shí)仍忽略了某些脊（ridge），還會(huì)顯示出一些小尺度的嵌入污點(diǎn)可見即使只是簡單的取硬閾值，Curvelet去噪算法的PSNR與較復(fù)雜的小波去噪算法相當(dāng)甚至更高在中等程度或高噪聲背景下，Curvelet算法的結(jié)果圖在視覺上更清晰，特別對(duì)于恢復(fù)邊緣和微弱的線性及曲線結(jié)構(gòu)非常有效

　　上述去噪方案仍有不足，由于采用的Ridgelet變換有環(huán)繞（warparound）現(xiàn)象，影響了Ridgelet變換以直線為單位分析圖像的性質(zhì)肖小奎等人的解決方案是對(duì)一n*n圖像補(bǔ)零至2n*2n個(gè)點(diǎn)后再進(jìn)行離散傅里葉變換，從而避免了進(jìn)行一維傅里葉反變換時(shí)所出現(xiàn)的混迭現(xiàn)象此外，由于Starck等人在去噪時(shí)采用了硬閾值，對(duì)小波系數(shù)的衰減又在頻域中進(jìn)行，所以去噪后的圖像中呈現(xiàn)出一定的振鈴效應(yīng)對(duì)此，肖小奎等人將頻域中小波系數(shù)變換到時(shí)域中再進(jìn)行硬閾值去噪，同時(shí)改進(jìn)了Xu等人提出的子帶相關(guān)去噪法，將其與硬閾值法進(jìn)行了結(jié)合實(shí)驗(yàn)證明去除了環(huán)繞現(xiàn)象，去噪后的圖像PSNR值和視覺效果都有所改進(jìn)

　　變化后系數(shù)矩陣維度的理解

　　下表顯示了對(duì)圖像做C = fdct_wrapping（X，0，2，6，16）;變換后，得到系數(shù)C的詳細(xì)信息，其中原始圖片大小為512*512。最內(nèi)層即Coarse是由低頻系數(shù)組成的一個(gè)矩陣，最外層Fine是高頻系數(shù)組成的矩陣。

　　尺度數(shù)s的影響

　　下圖顯示了對(duì)圖像做C = fdct_wrapping（X，0，2，6，16）;變換后，s=1:6，w=1下的空間域與頻域的圖像。可以看出：

　　1. 隨著s增大，即尺度由最佳尺度變?yōu)樽畲殖叨葧r(shí)，空間域的“針”圖形組件變細(xì)，而頻率域的“針”圖像逐漸變粗。這個(gè)可以由空間域和頻率域具有一定的對(duì)稱性得知，空間域越“胖”，頻率域越“瘦”。

　　2. 尺度s值越大，代表的的越是高頻信息。

　　角度數(shù)w的影響

　　下圖顯示了對(duì)圖像做C = fdct_wrapping（X，0，2，6，16）;變換后，s=5，w=1:10:60下的空間域與頻域的圖像。可以看出：

　　w=1時(shí)，“楔形”位于左上角位置，隨著w增大，“楔形”順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。由于空間限制，只貼出部分圖片。

　　位置a b（其元素值為1）的影響

　　下圖所示為對(duì)原始圖像進(jìn)行C = fdct_wrapping（X，0，2，total_s，16）;，改變C{5}{1}（a，b）=1;，a b取值變化時(shí)所對(duì)應(yīng)空間域與頻率域的圖像，可以看出：

　　a b的改變并不會(huì)對(duì)頻率域圖像造成影響，而在空間域上“針”狀物體會(huì)根據(jù)a b的值發(fā)生相應(yīng)的位移。