上一篇文章《深入淺出的講解傅里葉變換1》發(fā)出來(lái)之后，為了掐死我，大家真是很下工夫啊，有拿給姐姐看的，有拿給妹妹看的，還有拿給女朋友看的，就是為了聽(tīng)到一句“完全看不懂啊”。幸虧我留了個(gè)心眼，不然就真的像標(biāo)題配圖那樣了。我的文章題目是，如果看了這篇文章你“還”不懂就過(guò)來(lái)掐死我，潛臺(tái)詞就是在你學(xué)了，但是沒(méi)學(xué)明白的情況下看了還是不懂，才過(guò)來(lái)掐死我。

　　另外，想跟很多人抱歉，因?yàn)樵u(píng)論太多了，時(shí)間有限，不能給每個(gè)人回復(fù)，還望大家諒解。但是很感謝一直在評(píng)論區(qū)幫忙解答讀者問(wèn)題的各位，就不一一@了。

　　這里鄭重感謝大連海事大學(xué)的吳楠老師，一位學(xué)識(shí)淵博、備課縝密、但授課不拘一格的年輕教師！當(dāng)時(shí)大三他教我通信原理，但是他先用了4結(jié)課幫我們復(fù)習(xí)了很多信號(hào)與系統(tǒng)的基本概念，那個(gè)用樂(lè)譜代表頻域的概念就是他講的，一下子讓我對(duì)這門課豁然開(kāi)朗，才有了今天的這篇文章。

　　————————————今天的定場(chǎng)詩(shī)有點(diǎn)長(zhǎng)——————————

　　下面繼續(xù)開(kāi)始我們無(wú)節(jié)操的旅程：

　　上次的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看。這次的關(guān)鍵詞是：從下面看。

　　在第二課最開(kāi)始，我想先回答很多人的一個(gè)問(wèn)題：傅里葉分析究竟是干什么用的？這段相對(duì)比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個(gè)分割線。

　　先說(shuō)一個(gè)最直接的用途。無(wú)論聽(tīng)廣播還是看電視，我們一定對(duì)一個(gè)詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個(gè)通道來(lái)進(jìn)行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：

　　先在紙上畫一個(gè)sin（x），不一定標(biāo)準(zhǔn)，意思差不多就行。不是很難吧。

　　好，接下去畫一個(gè)sin（3x）+sin（5x）的圖形。

　　別說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了，曲線什么時(shí)候上升什么時(shí)候下降你都不一定畫的對(duì)吧？

　　好，畫不出來(lái)不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個(gè)曲線的方程式，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。

　　但是在頻域呢？則簡(jiǎn)單的很，無(wú)非就是幾條豎線而已。

　　所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號(hào)處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。

　　再說(shuō)一個(gè)更重要，但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程。（這段有點(diǎn)難度，看不懂的可以直接跳過(guò)這段）微分方程的重要性不用我過(guò)多介紹了。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情。因?yàn)槌艘?jì)算加減乘除，還要計(jì)算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统ǎ髮W(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒(méi)有。

　　傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。

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　　下面我們繼續(xù)說(shuō)相位譜：

　　通過(guò)時(shí)域到頻域的變換，我們得到了一個(gè)從側(cè)面看的頻譜，但是這個(gè)頻譜并沒(méi)有包含時(shí)域中全部的信息。因?yàn)轭l譜只代表每一個(gè)對(duì)應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒(méi)有提到相位。基礎(chǔ)的正弦波A.sin（wt+θ）中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對(duì)于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個(gè)相位譜。那么這個(gè)相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個(gè)波疊加的圖。

　　鑒于正弦波是周期的，我們需要設(shè)定一個(gè)用來(lái)標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰，而這個(gè)波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來(lái)表示。當(dāng)然，這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位。

　　這里需要糾正一個(gè)概念：時(shí)間差并不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話，相位差則是時(shí)間差在一個(gè)周期中所占的比例。我們將時(shí)間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。

　　在完整的立體圖中，我們將投影得到的時(shí)間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側(cè)面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話，可以告訴她：“對(duì)不起，我只是想看看你的相位譜。”

　　注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因?yàn)閏os（t+Pi）=-cos（t），所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已。對(duì)于周期方波的傅里葉級(jí)數(shù)，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡(jiǎn)單的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域?yàn)椋?pi，pi］，所以圖中的相位差均為Pi。

　　最后來(lái)一張大集合：

　　好了，你是不是覺(jué)得我們已經(jīng)講完傅里葉級(jí)數(shù)了？

　　抱歉讓你失望了，以上我們講解的只是傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)形式。接下去才是最究極的傅里葉級(jí)數(shù)——指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)。但是為了能更好的理解指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，我們還需要一個(gè)工具來(lái)幫忙——?dú)W拉公式。

　　歐拉公式，以及指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，我們下一講再講。謝謝大家（鞠躬）。

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　　今天講的部分不多，但是我希望大家能夠理解，我也有自己的生活，留給知乎的時(shí)間并不多，但是我很喜歡在知乎與別人交流的過(guò)程。上一次的那些文章大家知道我當(dāng)時(shí)寫了多久么？四天，每天寫6小時(shí)那種，而且當(dāng)時(shí)還是在假期。主要是圖太不好做了，有人問(wèn)到作圖的方法，其實(shí)就是簡(jiǎn)單的MATLAB+PHOTOSHOP，作圖的確是很費(fèi)時(shí)間，但是我相信做出這些圖是值得的，因?yàn)槲蚁嘈艌D一定比文字更好理解。也希望可以將這些自己學(xué)習(xí)時(shí)的感受和經(jīng)驗(yàn)更完整的分享給需要的人。

　　所以請(qǐng)大家稍微有點(diǎn)耐心，我會(huì)認(rèn)真把這個(gè)故事講完。也謝謝大家的理解和支持。
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