本期講分數槽繞組的對稱條件和并聯支路數。

1 分數槽繞組的對稱條件

對于整數槽繞組，由于每極每相槽數為整數，每極每相的槽數相等，總是能夠構成對稱的多相繞組，不存在繞組不對稱的問題。但對于分數槽繞組，由于每個相帶的槽數不相等，如果極槽配合不當，可能無法構成對稱的多相繞組，極槽配合必須要滿足一定的條件才能構成對稱的多相繞組。

關于分數槽繞組的對稱條件，有許多表達形式，不同文獻上講的對稱條件也不同，但都是從不同角度推導出來的結果，表達方式不同而已，其本質是等效的，滿足一種形式的對稱條件，其它也必然滿足。接下來我們就介紹幾種不同形式的分數槽繞組對稱條件。

構成對稱多相繞組的條件有兩個：第一個對稱條件就是每相繞組的線圈個數必須相等；第二個對稱條件是各相繞組在定子圓周上的分布必須均勻，即相鄰兩相繞組的軸線夾角相等，每相繞組產生的電勢和磁勢要對稱。兩個條件必須同時滿足才能構成對稱多相繞組。下面我們分別講解這兩個對稱條件。

1.1 第一個對稱條件

如上所述，構成對稱多相繞組的第一個條件是每相繞組的線圈個數必須相等，這個條件應該很好理解，如果每相繞組的線圈不相等，那么就談不上對稱。設定子槽數為Z1，相數為m，極對數為p，每極每相槽數為q，則對于單層繞組來說，定子Z1個槽就一共有Z1/2個線圈，要想每相繞組線圈個數相等，這Z1/2個線圈就必須能夠被相數m整除，即對于單層繞組，第一個對稱條件為：

Z1/(2m)=pq=整數?(1)

對于雙層繞組，Z1個槽一共就有Z1個線圈，要想每相繞組線圈個數相等，這Z1個線圈就必須能夠被相數m整除，即對于雙層繞組，第一個對稱條件為：

Z1/m=2pq=整數?(2)

由⑴、⑵式可見，整數槽繞組總是可以滿足第一對稱條件的，因為整數槽繞組的p和q都是整數，二者相乘當然還是整數。

對于分數槽繞組，由于q=N/d為一個不可約的分數，對單層分數槽繞組，第一個對稱條件：Z1/(2m)=pq=p?(N/d)=整數，由于N與d不能整除，要想滿足該條件，必須p與d能夠整除，即對于分數槽單層繞組，第一個對稱條件可演化為：

p/d=整數???? ???????????????????????????????(3)

同理對于雙層分數槽繞組的第一個對稱條件可演化為：

2p/d=整數???? ???????????????????????????????(4)

比較⑶、⑷式可見，雙層繞組比單層繞組更容易滿足第一個對稱條件，在設計時雙層繞組具有更多的極槽配合選擇余地。

1.2 第二個對稱條件

第二個對稱條件是每相繞組的布置要對稱，各相繞組產生的電勢和磁勢分布要對稱。這個條件進一步推論一下就是各相電勢之間的相位差均勻，或每相繞組的相帶寬度要相等。可以從不同的角度入手來推導出第二個對稱條件。

1.2.1 從槽電勢星型圖推導第二個對稱條件

槽電勢星型圖反映了各槽電勢或者說各線圈電勢的相位關系，每個單元電機對應一個槽電勢星型圖，各單元電機的槽電勢星型圖是重疊，我們把一個單元電機對應的槽電勢星型圖稱為基本星型圖，由于各單元電機的槽電勢星型圖是重疊的，因此只要研究一個單元的槽電勢星型圖，其它單元電機即可簡單復制。一個基本星型圖里包含許多個槽電勢相量，要想使多相繞組對稱，必須要把基本星型圖上的相量個數能夠平均分配給每一相，也就是說，基本星型圖中的相量個數必須能夠被相數整除。基于此即可推出構成對稱多相繞組的第二個條件為：

Z′=Z0/m=(Z1/t)/m=Z1/(m?t)=整數?(5)

式中：Z′為每個單元電機每相分得的槽數，或者說一個基本星型圖內每相包括的相量個數；Z0為單元電機的槽數，或者叫基本星型圖中的相量總個數；m為相數；Z1為定子總槽數；t為單元電機個數，即Z1與極對數p的最大公約數。

顯然對于整數槽繞組，由于t=p，⑸式永遠是滿足的，因此整數槽繞組總是能夠構成對稱多相繞組。

對于分數槽繞組，需要根據給出的電機總槽數Z1，極對數p，相數m，分兩步判斷是否能夠構成對稱繞組：第一步，首先求出總槽數Z1與極對數p的最大公約數t；第二步，根據⑸式計算Z1/(m?t)看是否能夠整除，如果能夠整除就可以構成對稱多相繞組，否則不能構成對稱多相繞組。

1.2.2 從相帶寬度推導第二個對稱條件

一個基本星型圖中的相量個數為Z0=Z1/t，則相鄰兩個相量之間的相位差(即相距角)：

α′=360o/Z0=360?t/Z1? (6)

對于m相對稱繞組，每相的相帶寬度為：

αφ=360o/m ??????????????????????????????(7)

要想構成m相對稱繞組，則一個相帶內必須包括整數個槽電勢相量，即相帶寬度αφ必須要能被相距角α′整除，即：

αφ/α′=(360o/m)/(360?t/Z1)=Z1/(m?t)=整數?(8)

式⑻即為從相帶劃分的角度推導出的對稱條件，比較⑻式和⑸式可見，兩式是一樣的。只不過是從不同的角度入手，推導出了同樣的結果。

1.2.3 用每極每相槽數q來判斷對稱條件

以上從兩個不同角度入手，推導出了同樣的構成多相繞組的對稱條件，即：

Z1/(m?t)=整數?(9)

用這個對稱條件來判斷一個分數槽的極槽配合能否構成多相對稱繞組固然是可以的，但判斷時需要分兩步，先求出Z1與p的最大公約數t，再用⑼式判斷是否能夠構成對稱繞組，這樣不僅比較麻煩，而且也不易記憶。實踐中常用另外一種簡單的判別方法，即用每極每相槽數q的分母d來判斷是否能夠構成多相對稱繞組。這里先把結果告訴大家，這個判別方法就是：看每極每相槽數q的分母d是否能被相數m整除，如果能夠整除就不能構成多相對稱繞組；如果不能整除就能夠構成多相對稱繞組。即構成多相對稱分數槽繞組的條件為：

d/m≠整數???? ??????????????????????????????(10)

對于三相繞組，就是d不能被3整除。其實(10)式也是從(9)式推導而來的，二者是等效的。接下來就用兩種方法來證明這個對稱條件。

【證法Ⅰ】設每極每相槽數：

q=b+c/d=(bd+c)/d

則：

Z′=Z1/(m?t)=2p?m?q/(m?t)=(2p/t)?q=(2p/t)?(bd+c)/d=整數?(11)

由于(bd+c)/d是除不盡的分數，要想滿足(11)式，只有2p/t能夠被d整除。又由于t是Z1與p的最大公約數，所以Z1=m?t?Z′與p=(p/t)?t之間除了最大公約數t之外，p/t與m之間不能再有不是1的公約數，另外由于多相電機m＞2，所以2p/t也不能被m整除。綜上，要想滿足(11)式，必須2(p/t)能被d整除，而2(p/t)不能被m整除，所以d也不能被m整除。

【證法Ⅱ】設每極每相槽數：

q=b+c/d=(bd+c)/d=N/d (12)

則：

Z1=2mpq=2mpN/d (13)

p=d?(p/d) ??????????????????(14)

由第一個對稱條件⑶式可知，p/d=整數，根據(13)、(14)式，這個整數p/d顯然是Z1與p的一個公約數，又由于N和d不可約，Z1和p的其它公約數只能包含于2m和d中，換句話說，Z1和p的其它公約數必定也是2m和d的公約數，設這些其它公約數為k，則Z1和p的最大公約數(單元電機個數)即為：

t=k?(p/d) ????????????????????????????(15)

將(13)、(15)式代入⑼式中，得第二個對稱條件為：

Z1/(mt)=(2mpN/d)/(mkp/d)=2N/k=整數?(16)

由于d的約數k不能是N的約數，因此k只能是1或2。也就是說在2m和d中只可能有1和2兩個公約數，無論是1還是2，對多相電機(m＞2)，d和m都不會有大于2的公約數，即第二個對稱條件為：

d/m≠整數???? ????????????????????????????(17)

對于三相電機：

d/3≠整數?????????????????????????????????(18)

以上用兩種方法證明了構成對稱多相繞組的條件。再次將兩個對稱條件重復如下：

對單層分數槽繞組：

? 對于雙層分數槽繞組：

? 由以上兩式可見，對于三相(m=3)分數槽電機，如果極對數為3的倍數次方(p=3、9、27…)，則絕對不能滿足式(19)的條件，因此這種極對數的分數槽電機是絕對不能構成單層三相分數槽繞組的。

2 分數槽繞組的并聯支路數

能夠構成并聯支路的條件是支路中包含的線圈電勢疊加后的大小和相位都相同才能被并聯起來。對于分數槽繞組分兩種情況，第一種情況：如果一個單元電機中每相槽數是奇數，則不能等分成兩個相等的正負相帶，這種情況下只能構成雙層繞組，且一個單元電機只能構成一條并聯支路，t個單元電機最多可以構成t條并聯支路。第二種情況：如果一個單元電機中每相槽數是偶數，則可以等分成兩個相等的正負相帶，這種情況下對于雙層繞組，一個單元電機中可以構成兩條并聯支路，t個單元電機最多可以構成2t條并聯支路；這種情況也可以構成單層繞組，一個單元只能構成一條并聯支路，t個單元電機最多可以構成t條并聯支路(后面會提到有特例)。接下來我們就分這兩種情況，分別介紹分數槽繞組的并聯支路數。

2.1 當Z′為奇數時的最大并聯支路數

分數槽繞組一個單元電機中每相的槽數為Z′=Z1/t?m。

則每極每相槽數：

q=Z1/(2pm)=Z′?t?m/(2pm)=Z′/(2p/t)=Z′/(2p′)=N/d (21)

其中：Z′=Z0/m；Z0=Z1/t為每個單元電機的槽數；p′=p/t為每個單元電機的極對數。由于t為Z1與p的最大公約數，故Z0和p′不可約，因此Z′與p′也不可約，又由于Z′為奇數，故Z′與2也不可約，因此Z′與2p′必不可約，即Z′/2p′為最簡分數，那必然是N=Z′；d=2p′=2p/t。由此可見，單元電機個數為：

t=2p/d ???????????????????????????????(22)

Z′為奇數，即一個單元電機中每相槽數為奇數，不能等分成兩個相等的正負相帶，因此這種情況只能構成雙層繞組，且一個單元電機只能一條并聯支路，t個單元電機最多可以構成t條并聯支路。即這種情況的最大并聯支路數為：

amax=t=2p/d ????????????????????????????(23)

由于用Z′的奇偶作為判別條件需要復雜的計算，不太簡便和直觀，分數槽繞組通常都是先算出每極每相槽數q，這樣其分母d自然就知道奇偶，因此實踐中常用d的奇偶作為判別條件。由式(21)可見，當一個單元電機中每相的槽數Z′=N為奇數時，d=2p/t必為偶數，因此上述Z′為奇數的前提條件可以轉化為d為偶數。

小結一下：當d為偶數時，只能構成雙層分數槽繞組，其最大并聯支路數為2p/d。

2.2 當Z′為偶數時的最大并聯支路數

如果Z′為偶數，則每極每相槽數：

q=Z1/(2pm)=Z′?t?m/(2pm)=(Z′/2)/(p/t)=(Z′/2)/p′=N/d (24)

同理，由于Z′與p′不可約，Z′/2與p′必不可約，即(Z′/2)/p′為最簡分數，那必然是N=Z′/2；d=p′=p/t，則單元電機個數為：

t=p/d ??????????????????????????????????(25)

另外由于Z′與p′不可約，Z′為偶數時，p′必為奇數，因此也可以把Z′為偶數的前提條件轉化為d為奇數。即d為奇數時，可以把每相等分成兩個相等的正負相帶，此時即可以構成雙層繞組，也可以構成單層繞組。

如果是雙層繞組，一個單元電機可以構成兩條并聯支路，t個單元電機最多可以構成2t條并聯支路，即這種情況對雙層繞組最大并聯支路數為：

amax=2t=2p/d ????????????????????????????(26)

如果是單層繞組，一個單元只能構成一條并聯支路，t個單元電機最多可以構成t條并聯支路，即這種情況對單層繞組最大并聯支路數為：

amax=t=p/d ?????????????????????????????(27)

另外，這種情況還存在一種特例，就是如果Z′能夠被4整除，也就是N為偶數時，則一個單元電機內仍然可以將每個正相帶和負相帶的槽數再平分成兩份，兩份槽內導體在端部分別向兩邊跨接構成單層繞組的兩條并聯支路，t個單元電機，就能夠構成最大并聯支路數為2t的單層繞組，即此時最大并聯支路數為：

amax=2t=2p/d ????????????????????????????(28)

這種特例情況類似q為偶數的整數槽繞組，采用鏈式接法時仍然可以構成最大并聯支路數為2p的單層繞組，有關詳細論述參見《電機繞組(2)》中的示例二和示例三，這里不再贅述。

小結一下：當d為奇數時，即可以構成雙層分數槽繞組，也可以構成單層分數槽繞組。構成雙層繞組時，其最大并聯支路數為2p/d；構成單層繞組時，如果N為奇數則最大并聯支路數為p/d；如果N為偶數，則最大并聯支路數為2p/d。

2.3 分數槽繞組最大并聯支路數總結

綜上所述，由式(23)、(26)、(27)、(28)可以得出以下結論：

【結論Ⅰ】無論d為偶數還是奇數，都可以構成雙層繞組，雙層分數槽繞組的最大并聯支路數都是2p/d。

【結論Ⅱ】只有d為奇數時，才可以構成單層繞組。構成單層繞組時，如果N為偶數，則最大并聯支路數仍為2p/d；如果N為奇數則最大并聯支路數為p/d。

2.4 分數槽繞組的實際并聯支路數

以上論述的是分數槽繞組可能構成的最大并聯支路數，實際電機中的并聯支路數a可以少于上述最大并聯支路數amax，但必須是最大并聯支路數的約數，即：

amax/a=整數??? ?????????????????????????????(29)

上述介紹了分數槽繞組的對稱條件和并聯支路數，以上分析可見，雖然就這么幾個數字倒騰過來倒騰過去，用的都是些小學數學知識，但消化起來還是很燒腦子的，想深入消化理解的同學們一定要靜下心來，多看幾遍慢慢理解，不想燒腦子的同學們看不懂也沒關系，你就記住文中的那些結論和結論性的判別式即可快速判斷極槽配合能否構成對稱分數槽繞組，能夠構成幾路并聯。

編輯：黃飛

?