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盡管現在人們可能會被誘惑去證明關于實變量的全純函數的定理，但是讀者很快就會發現復雜分析是一門新的學科，它為適合其自身性質的定理提供了證明。實際上，我們在下一章中討論的全純函數的主要性質的證明一般都很短，而且很有啟發性。復雜分析的研究沿著兩條經常相交的路徑進行。在遵循第一種方法時，我們尋求理解全純函數的普遍特性，而不特別考慮具體的例子。第二種方法是分析一些特殊的函數，這些函數在數學的其他領域被證明是非常有趣的。當然，如果我們沒有沿著這條路走一段路，就不能走得太遠。我們將從全純函數的一些一般特征性質開始研究，這些性質包含三個相當神奇的事實：
另外兩個值得注意的問題是：fourier變換及其通過輪廓積分與復雜分析的優雅聯系，以及poisson求和公式的應用；還有保角映射，其逆是由schwarz-christoffel公式實現的多邊形的映射，以及導致橢圓積分和橢圓函數的矩形的特殊情況。
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