“如何用最困難的方法去掙100萬美元？”

“去證明黎曼猜想！”

這是在數(shù)學(xué)界流傳的一個笑話，黎曼猜想的難度可見一斑。

2000年5月，美國克雷數(shù)學(xué)研究所向全世界公布了七大數(shù)學(xué)難題，每個難題懸賞100萬美金，黎曼猜想就是其中第四個。

1900年，大數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了23個歷史性數(shù)學(xué)難題，黎曼猜想是第八個問題的一部分。

作為唯一一個連上兩榜的難題，黎曼猜想牽動著每一位數(shù)學(xué)家的神經(jīng)。所以，當(dāng)2018年9月阿蒂亞爵士宣稱證明了黎曼猜想的時候，整個科學(xué)界炸鍋了。那么，黎曼猜想到底說了啥？普通的吃瓜群眾要怎樣才聽懂如此高深的數(shù)學(xué)問題？長尾科技今天就來給大家說道說道。

其實，在長尾科技的上一篇文章《終于知道為什么宇宙是11維的了，11竟然是這么來的……》里還恰巧就涉及到了一點點和黎曼猜想有關(guān)的東西。

歐拉的公式

不知道大家還記不記得上篇文章里提到的那個歐拉的不可思議公式：1+2+3+4+5+……=-1/12。正是這個公式讓超弦理論里光子的能量變成可以計算的，并最終確定了超弦理論里宇宙的維度。

上篇文章因為是講超弦理論的，所以這個公式也只是稍微提了一下，也跟大家說了當(dāng)時歐拉的證明方法是不嚴謹?shù)摹２⑶疫@種加法也不是我們平常所說的加法，而是無窮級數(shù)的求和，數(shù)學(xué)家們?yōu)榇松踔林匦露x了“和”的概念。數(shù)學(xué)一涉及到這種無窮，很多東西就跟平常不一樣了，就跟物理學(xué)家在量子尺度看到的完全不一樣的世界一樣。

在這種無窮級數(shù)的求和，我們平常加法所使用的交換律（a+b=b+a）和結(jié)合律【（a+b）+c=a+（b+c）】都不再適用。

比如，看這樣一個數(shù)列求和：1，-1,1，-1,1……（正負1無窮交替）。

如果我們這樣配對：（1-1）+（1-1）+……=0。（它的和應(yīng)該是0）

而如果這樣配對：1+（-1+1）+（-1+1）+……=1。（它的和又應(yīng)該是1）

不同的結(jié)合方式得到的結(jié)果竟然是不一樣的，這在我們普通的加法里是不可想象的。這種問題在數(shù)學(xué)里叫發(fā)散級數(shù)求和，我并不打算在這里深入講這個，大家只需要知道這種求和跟我們平常所理解的求和不一樣，但是這種求和在物理上（比如超弦）具有很重要的意義就行了。

Zeta函數(shù)ζ(n)

歐拉的那個不可思議公式（1+2+3+4+5+……=-1/12）其實有一個更加一般的形式，這個更加一般形式就叫Zeta函數(shù)ζ(n)：

我們可以看到，上面那個自然級數(shù)的求和就是這個當(dāng)Zeta函數(shù)里n=-1的時候的特例，即：

ζ(-1)=1+2+3+4+……=-1/12。

歐拉在1735年（28歲）就算出來了ζ(2)=1+1/4+1/9+1/16+1/25+……=π^2/6，并且通過這個一舉成名。

歐拉后面還要繼續(xù)跟這個Zeta函數(shù)打交道，并且發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)里隱藏的驚天秘密，最終給黎曼和黎曼猜想打開了一扇大門。

那么，歐拉到底發(fā)現(xiàn)了Zeta函數(shù)里面隱藏的什么秘密呢？

答案就是：Zeta函數(shù)和質(zhì)數(shù)之間有某種不可告人的關(guān)系。

為什么質(zhì)數(shù)（素數(shù)）如此重要？

質(zhì)數(shù)，也叫素數(shù)，我們在小學(xué)的時候就知道它的概念：只能被自己和1整除的自然數(shù)就叫質(zhì)數(shù)（比如2, 3, 5, 7, 11, 13），質(zhì)數(shù)以外的自然數(shù)（就是說除了自己和1，還能被其他的）叫合數(shù)。

小時候我們知道質(zhì)數(shù)和合數(shù)的定義，也知道要怎么判斷，但是我們未必知道質(zhì)數(shù)的意義（不就是只能被自己和1整除嘛，有什么特別意義的）。

我們先來想一想，合數(shù)為什么叫合數(shù)？我們可以理解為合數(shù)是可以由其他的質(zhì)數(shù)合成的數(shù)。小學(xué)我們就學(xué)過質(zhì)因數(shù)分解：每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，這個質(zhì)數(shù)就叫這個合數(shù)的分解質(zhì)因數(shù)。

也就是說，我所有的合數(shù)都可以看成是由質(zhì)數(shù)組合而成的，那么，只要我把這些處在最低層的質(zhì)數(shù)的規(guī)律摸清楚了，那么上層的合數(shù)的規(guī)律就不在話下了。

這就好比我們學(xué)物理，只要我們把分子原子的規(guī)律搞清楚了，那么由分子原子組成的物質(zhì)的性質(zhì)也就搞清楚了。而質(zhì)數(shù)在自然數(shù)里的地位，就相當(dāng)于分子原子電子（現(xiàn)在應(yīng)該是夸克）這些基本粒子在物理學(xué)的地位，所以你說它重不重要？

質(zhì)數(shù)的規(guī)律

既然質(zhì)數(shù)這么重要，那數(shù)學(xué)家們都去研究質(zhì)數(shù)的規(guī)律啊，都別閑著啊！

數(shù)學(xué)家們自覺得很，根本不用你催就去吭哧吭哧的研究去了，但是研究來研究去，發(fā)現(xiàn)這質(zhì)數(shù)實在太難搞了，壓根就沒啥規(guī)律可言嘛。試圖通過簡單的多項式來找到質(zhì)數(shù)規(guī)律的直接被判死刑了，不信我列舉100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)你自己去找找規(guī)律看看，看看能找出什么規(guī)律：

100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。

數(shù)學(xué)們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)有無窮多個，而且根本找不到簡單的多項式通項公式，要研究質(zhì)數(shù)壓根不知道從而下手。

這種尷尬的局面一直要到歐拉發(fā)現(xiàn)了Zeta函數(shù)和質(zhì)數(shù)之間的神秘聯(lián)系之后才被打破。

歐拉乘積公式

1737年，歐拉在一篇名為《無窮級數(shù)的各種觀察》的論文中首次發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)和Zeta函數(shù)之間的一種關(guān)系：Zeta 函數(shù)的求和等于1減去質(zhì)數(shù)的-s 次方的倒數(shù)的求積。

這個公式叫做歐拉乘積公式（p為質(zhì)數(shù)）：

這個公式看不太懂也沒關(guān)系，反正我們只要知道歐拉第一次發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)的乘積和Zeta函數(shù)的求和之間存在一種關(guān)系就行了。這種關(guān)系是現(xiàn)代質(zhì)數(shù)理論的基礎(chǔ)，并且給后人指明了一個方向：想要了解質(zhì)數(shù)的規(guī)律么？那么就去研究Zeta函數(shù)把，質(zhì)數(shù)的規(guī)律極有可能就藏在Zeta函數(shù)里面。

質(zhì)數(shù)的計數(shù)函數(shù)π(x)

在上面我們提到，想找到一個簡單的多項式公式來描述質(zhì)數(shù)是不可能的，那我來研究一下質(zhì)數(shù)的分布規(guī)律總可以吧，我想知道100以內(nèi)大概有多少個質(zhì)數(shù)，100萬以內(nèi)大概有多少個質(zhì)數(shù)，這個也非常的重要。

高斯引入質(zhì)數(shù)的計數(shù)函數(shù)π(x)就是用來干這事的，π(x)表示小于x的質(zhì)數(shù)數(shù)量，比如π(100)就表示小于100的質(zhì)數(shù)有多少個。

π(x)其實是一個客觀確定的函數(shù)，比如我們都知道10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)一共有4個（π(10)=4），20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)一共有8個（π(20)=8），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)總共有25個（π(100)=25）等等。那么接下來我們就要找一個已知的函數(shù)來模擬它，讓這個函數(shù)取10的時候，它的值為4，取20的時候值為8，取100的的時候值為25。

因為我們沒有找到描述質(zhì)數(shù)的準確規(guī)律，所以我們也無法找到一個精確的描述質(zhì)數(shù)分布的函數(shù)，于是我們就只能盡可能去找一個誤差比較小的函數(shù)來代替它，讓我們對質(zhì)數(shù)的分布有個大致的把握。

質(zhì)數(shù)的計數(shù)函數(shù)π(x)是高斯提出來的，他自己先給出了一個近似模擬π(x)的函數(shù)：x/ln(x)。并且提出：當(dāng)x逐漸增大到無窮大時候，π(x)和x/ln(x)應(yīng)該近似相等。這個就叫素數(shù)定理。

后來，人們又提出了一個模擬π(x)的函數(shù)Li(x)，這個函數(shù)比x/ln(x)更加精確。

這幾個函數(shù)的圖如下，我們可以看到Li(x)偏大，x/ln(x)偏小。相比之下Li(x)確實更加精確一些。

但是，即便如此，數(shù)學(xué)家們還是不滿意。Li(x)即便精確一些，但是當(dāng)x取到億級的時候，它將產(chǎn)生兩千多個誤差，這對眼里容不得沙子的數(shù)學(xué)家來說，依然是不可接受的。

難道就不能再找到更好的結(jié)果了么？

黎曼登場

前面做了那么多鋪墊，我們的主角黎曼終于要登場了。

我們先看一看這幾個人的出生年代：歐拉（1707-1783）、高斯（1777-1855）、黎曼（1826-1866）。高斯比歐拉小了70歲，黎曼比高斯小了49歲，而黎曼正好是高斯最得意的學(xué)生。從上面我們發(fā)現(xiàn)最悲傷的事情是：歐拉和高斯分別活了76歲和78歲，而黎曼只活了40歲。

如果黎曼能活得跟歐拉高斯一樣久，黎曼猜想或許早就被黎曼自己解決了，而且說不定黎曼能把相對論搞出來（愛因斯坦的廣義相對論的數(shù)學(xué)工具就是黎曼幾何）。黎曼的創(chuàng)造力和對數(shù)學(xué)的洞察力太驚人了，他隨便一個證明從略的東西就要花費后世數(shù)學(xué)家?guī)资甑臅r間去證明，而黎曼的運氣又太差了，他極其珍貴的手稿在他死后被管家一把火燒了，可見身體是革命的本錢啊！

1859年，黎曼發(fā)表了關(guān)于質(zhì)數(shù)分布的論文《論小于某給定值的素數(shù)的個數(shù)》，這是他在這個領(lǐng)域發(fā)表的唯一的一篇論文，卻被認為的該領(lǐng)域最重要的論文，不得不說有才就是任性。

黎曼 Zeta函數(shù)

關(guān)于Zeta函數(shù)我們在上面已經(jīng)介紹了，歐拉第一個發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)和Zeta函數(shù)之前存在著某種不可告人的秘密，但是這種關(guān)系畢竟很有限。

黎曼做的一個重要的工作就是：把Zeta函數(shù)推廣到了復(fù)數(shù)，然后在復(fù)數(shù)這個更高的角度發(fā)現(xiàn)了Zeta函數(shù)跟質(zhì)數(shù)之間更加深刻的關(guān)系。

我們先來回憶一下復(fù)數(shù)的概念：-3，2，0，1，5這種數(shù)是整數(shù)，整數(shù)加上有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)構(gòu)成了有理數(shù)，有理數(shù)加上π、根號2這種無限不循環(huán)的無理數(shù)一起構(gòu)成了實數(shù)，實數(shù)和虛數(shù)一起構(gòu)成了復(fù)數(shù)。

虛數(shù)主要是通過一個虛數(shù)單位構(gòu)成的，這個虛數(shù)單位記做i，這個i的一個神奇的特性就是：i的平方等于負一，即i^2=-1。

我們知道，在實數(shù)范圍里，任何一個數(shù)的平方都是大于等于0的數(shù)，但是現(xiàn)在出現(xiàn)了一個i，它的平方居然等于-1，那么這個i肯定就不是實數(shù)里面的了。那么，有這個i組成的數(shù)就叫虛數(shù)，實數(shù)和虛數(shù)一起就叫復(fù)數(shù)。

根據(jù)上面的定義，一個復(fù)數(shù)就可以寫成s = σ + it（其中σ 和 t 均為實數(shù)，i為虛數(shù)單位），當(dāng)t=0的時候，這個復(fù)數(shù)就變成了一個實數(shù)。

黎曼Zeta函數(shù)就是把原來的Zeta函數(shù)拓展到了這個復(fù)數(shù)里面，也就是說下面的s代表一個復(fù)數(shù)。

函數(shù)的零點

我們在初中的時候就接觸過方程和函數(shù)。

方程是一個含有未知數(shù)的等式，使用方程可以讓我們省去逆向思維的痛苦，這在數(shù)學(xué)里是一個非常重要的思想。通常我們會把方程里所有的項都移到左邊，然右邊只剩下一個0，而通過解方程就可以求解出這個未知數(shù)。

比如，2x-4=0這是一個方程，因為只有x一個變量，而且最高次項只有一次（沒有平方立方啥的），所以這叫一元一次方程，也是最簡單的方程。我們通過觀察，很輕松的就可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2的時候這個等式是成立，所以這個方程的解就是x=2。

然后，我們把方程的左邊單獨摘出來，把它賦給另外一個變量y，這樣就變成了y=2x-4，那么這樣就產(chǎn)生了一個函數(shù)。

我們觀察這個函數(shù)，當(dāng)x=1的時候，y=-1;x=2的時候，y=0；x=3的時候，y=2等等等等。給定一個任何的x，我們的y都有一個唯一的值跟它對應(yīng)。

那么，當(dāng)x等于多少的時候，y等于0呢？這個問題就是函數(shù)的零點的問題，大家觀察一下就可以發(fā)現(xiàn)，如果y=0那么這個函數(shù)就變成了y=2x-4=0，這不就是之前的方程么？因為函數(shù)的零點問題其實是跟這個函數(shù)對應(yīng)的方程的解的問題聯(lián)系在一起的，所以，這個函數(shù)的零點問題就顯得特別的重要。

那么好，在我們這個y=2x-4這個函數(shù)里，它有零點，并且只有x=2這一個零點，但是在很多函數(shù)里，它的零點就不止一個。比如說y=x^2-4（x的平方減4），這個函數(shù)就有x=2和x=-2兩個零點，它有兩個零點就意味著它對應(yīng)的方程有兩個解，以此類推。

黎曼Zeta函數(shù)的零點

我們現(xiàn)在了解了一個函數(shù)的零點的概念，也懂得了它的意義，那么黎曼Zeta函數(shù)它是不是也是一個函數(shù)呢？既然是一個函數(shù)，那么它是不是也有零點？那么它的零點應(yīng)該是什么樣的呢？

上面我們也說了，這個Zeta函數(shù)之所以要稱為黎曼Zeta函數(shù)，就是因為黎曼把這個函數(shù)拓展到了復(fù)數(shù)領(lǐng)域，那么相應(yīng)的，這個函數(shù)的零點也應(yīng)該是復(fù)數(shù)。

我們就假設(shè)黎曼Zeta函數(shù)的零點s=a+bi（這是一個復(fù)數(shù)，a為實數(shù)部分，簡稱實部，b為虛數(shù)部分，簡稱虛部）

黎曼對根據(jù)零點實部的大小給這些零點分了一個類：a<0的零點，0<=a<=1的零點和a>1的零點。

實部a<0的零點：這部分零點非常的簡單，就是在負偶數(shù)的地方有零點，比如-2，-4，-6，-8……因為這部分的零點是在是太平凡了，所以它們叫平凡零點。

實部a>1的零點：通過計算，黎曼發(fā)現(xiàn)當(dāng)實部a>0的時候，函數(shù)壓根就沒有零點，也就是說，在這里不存在零點。

實部0<=a<=1的零點：小于0和大于1部分的零點都容易解決，這部分處在臨界地區(qū)的零點是最復(fù)雜的，也是被研究的最多的，這部分的零點因為非常的復(fù)雜，非常的不平凡，所以被稱為不平凡零點。跟黎曼猜想息息相關(guān)的，正是這些不平凡零點。

黎曼猜想

黎曼在研究這些非平凡零點的時候，發(fā)現(xiàn)他求解的非平凡零點的實部a都等于1/2，但是他無法給出證明，無法從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)出黎曼Zeta函數(shù)的非平凡零點的實部都等于1/2。

于是，黎曼就給出了鼎鼎大名的黎曼猜想：黎曼Zeta函數(shù)的非平凡零點的實部都等于1/2。

如果黎曼猜想是正確的，那么以后黎曼Zeta函數(shù)的非平凡零點就可以都寫成s=1/2+bi的形式。

據(jù)說我們已經(jīng)用計算機已經(jīng)驗證了10萬億個非平凡零點，發(fā)現(xiàn)它的實部都等于1/2，但是10萬億不等于所有，在無窮面前依然是滄海一粟。

當(dāng)然，因為黎曼猜想非常的好用，所以，很多數(shù)學(xué)家也等不到黎曼猜想被證明（他們相信黎曼猜想應(yīng)該是對的，只是現(xiàn)在還無法證明而已），他們就直接假設(shè)黎曼猜想是對的，然后繼續(xù)進行他們的工作。據(jù)說，目前已經(jīng)有一千多個命題是基于黎曼假設(shè)正確提出來的，也就是說，如果黎曼猜想最終被確切證明是正確的，那么這一千多個命題就會榮升為定理，如果黎曼猜想不幸是錯誤的，那么一千多個命題就會集體陪葬。

一條猜想關(guān)系著如此多命題的命運，這在數(shù)學(xué)史上都是前無古人的。

不平凡零點和質(zhì)數(shù)

我們在上面已經(jīng)說過，零點的意義是很重要的。在黎曼猜想之后，黎曼就開始研究它們和質(zhì)數(shù)之間的關(guān)系，因為我們研究Zeta函數(shù)，研究不平凡零點，最終都是為了研究質(zhì)數(shù)的規(guī)律。

高斯之前定義了一個質(zhì)數(shù)的計數(shù)函數(shù)π(x)，黎曼把這個質(zhì)數(shù)的計數(shù)函數(shù)自己包裝了一層，提出了一個黎曼質(zhì)數(shù)計數(shù)函數(shù)J(x)，其中：

然后，黎曼給出了質(zhì)數(shù)計數(shù)函數(shù)的準確形式，并發(fā)現(xiàn)它跟非平凡零點有非常大的關(guān)系。這樣，非平凡零點的意義一下子就凸顯出來了。同樣的，我貼出來的這些公式，不理解也無所謂，反正就是只要知道黎曼質(zhì)數(shù)計數(shù)函數(shù)跟非平凡零點之間有種關(guān)系就行了，觀其大意，抓住要點，不求甚解。

再回憶一下，質(zhì)數(shù)計數(shù)函數(shù)是什么意思？它表達的是小于這個數(shù)的范圍內(nèi)有多少個質(zhì)數(shù)，這其實就是在研究質(zhì)數(shù)的分布規(guī)律，這對于質(zhì)數(shù)的研究是非常重要的，我們的質(zhì)數(shù)到底是隨機分布的，還是有什么特殊的規(guī)律呢？

不平凡零點的意義

不平凡零點雖然是黎曼用Zeta函數(shù)來研究質(zhì)數(shù)的時候蹦出來的東西，但是這東西一旦出來了就不再受控了。

比如，物理學(xué)家居然發(fā)現(xiàn)這個不平凡零點的分布跟多粒子系統(tǒng)相互作用下能級的分布有這某種驚人的相似性。

這些零點的分布到底有什么規(guī)律？這些零點到底有什么意義？它是不是無意中泄露了某種新的天機？我們可能只是通過質(zhì)數(shù)的研究無意中把它炸了出來，但是它的真實能量可能遠遠不止如此。

也正因為這些不平凡的零點慢慢變得如此不平凡，黎曼猜想就變得愈發(fā)的重要，畢竟，對于這些不平凡零點來說，它們是實部是不是永遠等于1/2，這可是個大事。

結(jié)語

不知不覺，文章快6000字了。

黎曼在1859年提出了黎曼猜想，這問題在159年之后依然懸而未決，可見問題難度之大。因此，要把這個問題跟不太懂高等數(shù)學(xué)的人講清楚是非常困難的，尤其長尾科技是打算讓初中生甚至小學(xué)生也能看懂黎曼猜想（如此偉大美妙的思想，憑什么不讓初中生小學(xué)生了解？），因為小學(xué)初中時期是學(xué)生思想最純的時候，那個時候的學(xué)生是發(fā)自內(nèi)心的想當(dāng)科學(xué)家。如果我的文章能夠讓初中生小學(xué)生對黎曼猜想，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣并自發(fā)的研究數(shù)學(xué)，那長尾科技寫文章的目的就達到了。

長尾科技寫相對論文章的目的也是如此。長尾就是要把物理、數(shù)學(xué)、計算機里一些最難以理解，最前沿的科學(xué)思想用初中生甚至小學(xué)生都能看懂的語言寫出來，而且是把他們的原理前前后后都寫清楚，而不是簡單的介紹一下他們。長尾科技自己沒有真的弄懂的東西，絕不輕易下筆，寧可不寫，也不要誤導(dǎo)別人，也因此，長尾科技的公眾號里只有自己原創(chuàng)的文章。

相對論、量子力學(xué)、黑洞、超弦、無窮、哥德爾定理、貝爾不等式、人工智能、深度學(xué)習(xí)，這些超酷的字眼我不能只讓科學(xué)家們才理解它們啊。我相信科學(xué)本身就是非常美的，只要我把科學(xué)的美自然的展現(xiàn)出來，別人不需要外力就能自動的愛上它，這也是科普的意義~