引言

卡爾曼濾波（KF）是一個(gè)不斷預(yù)測(cè)、修正的遞推過(guò)程，已經(jīng)越來(lái)越多地應(yīng)用于動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理中。然而在KF模型中，要求觀測(cè)方程是線性形式、狀態(tài)噪聲和測(cè)量噪聲是白噪聲。為了解決這種矛盾，將KF理論應(yīng)用到非線性領(lǐng)域中，擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）應(yīng)用而生，它圍繞狀態(tài)估計(jì)值對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行一階Taylor展開(kāi)使其線性化，但它存在如下不足：一是當(dāng)非線性函數(shù)Taylor展開(kāi)式的高階項(xiàng)無(wú)法忽略時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的線性化誤差；二是EKF假定噪聲均為正態(tài)白噪聲，但是一個(gè)正態(tài)自噪聲經(jīng)過(guò)非線性變換后通常不再呈現(xiàn)正態(tài)性；三是只有在雅可比矩陣存在時(shí)才能線性化，而很多應(yīng)用中雅可比矩陣很難求。針對(duì)這種情況，Julier和Uhlmann等人提出了一種基于非線性變換——Un-scented變換（UT）的卡爾曼濾波算法（UKF）。它通過(guò)確定性采樣得到的一組sigma點(diǎn)，可以獲得更多的觀測(cè)假設(shè)，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的均值和協(xié)方差的估計(jì)更為準(zhǔn)確，同時(shí)由于該算法采用了非線性的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，從而避免了線性化誤差。目前，EKF和UKF算法被廣泛應(yīng)用于GPS非線性動(dòng)態(tài)濾波研究中，并取得良好的定位效果。

本文給出了一種加權(quán)最小二乘一卡爾曼濾波（WLS-KF）算法，它利用一組離散采樣點(diǎn)，通過(guò)WLS方法產(chǎn)生近似線性化預(yù)測(cè)模型，然后用KF算法對(duì)此模型進(jìn)行校正。以該算法為思路，將其應(yīng)用在GPS非線性動(dòng)態(tài)濾波定位解算中，仿真結(jié)果表明該算法精度介于EKF和UKF之間，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)較高精度的定位和跟蹤。

1 算法描述

1．1 WLS算法

LS算法是現(xiàn)代測(cè)量技術(shù)中數(shù)據(jù)處理的基本工具，這種方法的特點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，在估計(jì)解算時(shí)，不需要知道與被估計(jì)量以及觀測(cè)量有關(guān)的任何統(tǒng)計(jì)信息。

設(shè)X為待估參數(shù)矢量，觀測(cè)矢量為L(zhǎng)。觀測(cè)方程為：

式中：A是系數(shù)矩陣；f（X0）表示用先驗(yàn)參數(shù)計(jì)算的理論觀測(cè)向量；b表示擬合后的殘差；△X是對(duì)先驗(yàn)參數(shù)的小修正向量。

LS算法的指標(biāo)是使各次觀測(cè)量與由參數(shù)估計(jì)得到的觀測(cè)量之差的平方和最小，即：

計(jì)算完測(cè)量更新方程后，整個(gè)過(guò)程再次重復(fù)，上一次計(jì)算得到的后驗(yàn)估計(jì)被作為下一次計(jì)算的先驗(yàn)估計(jì)。

1．3 WLS-KF算法

1．3．1 基本思想

算法基本思想是通過(guò)WLS方法計(jì)算隨機(jī)變量經(jīng)過(guò)非線性變換后的分布參數(shù)，它利用離散個(gè)加權(quán)點(diǎn)來(lái)確定近似直線。

設(shè)待確定的近似線性化模型為：

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

基于運(yùn)動(dòng)載體為質(zhì)點(diǎn)的假設(shè)建立目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型，考慮一個(gè)二維平面曲線運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，狀態(tài)定義為，分別表示二維方向上的位置變量、速度變量、載體相對(duì)于起始位置的轉(zhuǎn)彎角度及接收機(jī)鐘差。?

系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

式中：wk，vk和εk為相互獨(dú)立的高斯白噪聲序列，wk～N（0，10），vk～N（0，10），εk～N（0，1）。此系統(tǒng)是具有可加噪聲的離散非線性時(shí)變系統(tǒng)，觀測(cè)時(shí)間為100 s，觀測(cè)周期為1 s。WLS-KF和EKF，UKF算法的二維預(yù)測(cè)結(jié)果分別如圖1，圖2所示，預(yù)測(cè)結(jié)果誤差分析見(jiàn)表1。

為便于比較，算法中使用的隨機(jī)數(shù)據(jù)均來(lái)自于提前保存好的隨機(jī)序列。結(jié)果表明，WLS-KF算法的計(jì)算量適中，精度介于EKF和UKF之間，且效率同KF接近。

3 結(jié)語(yǔ)

本文引入了一種基于加權(quán)最小二乘的線性化方法，將其與KF算法相結(jié)合，給出了可以應(yīng)用于GPS非線性動(dòng)態(tài)濾波系統(tǒng)的WLS-KF算法。該算法不需要求偏導(dǎo)數(shù)，算法精度介于EKF和UKF之間，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)較高精度的定位和跟蹤，有一定的應(yīng)用價(jià)值。

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