如果說高中有什么難度比較大的內(nèi)容，那不等式絕對(duì)算是其中一大類，甚至在考試中往往作為壓軸題出現(xiàn)。

說到均值不等式，還得從我們初中就熟悉的完全平方公式以及任意實(shí)數(shù)的平方大于等于0開始。

假設(shè)x1和x2都是正實(shí)數(shù)，那么就有


?

利用上述關(guān)系，可以進(jìn)一步得到

把上面所有內(nèi)容整理一下，就有了我們高中非常熟悉（嗎？）的均值不等式。

當(dāng)然，上述結(jié)果也可以推廣到n個(gè)正實(shí)數(shù)，即

n個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的均值不等式同樣可以采用完全平方公式來證明（雖然有點(diǎn)麻煩），有興趣的朋友可以試試。

可是，作為一名學(xué)習(xí)過高等數(shù)學(xué)課程的博士研究生，能否對(duì)均值不等式進(jìn)行深入探討呢？

這里定義這樣一個(gè)函數(shù)：


?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

其中R表示所有實(shí)數(shù)的集合。 細(xì)心的朋友可以發(fā)現(xiàn)，f(-1)就是調(diào)和平均數(shù)，f(1)就是算術(shù)平均數(shù)，f(2)就是平方平均數(shù)。

只要研究清楚f(k)的單調(diào)性，均值不等式問題也就迎刃而解了。

值得一提的是，幾何平均數(shù)并沒有包含在函數(shù)f(k)中，暫且不管它。

為了簡(jiǎn)化問題，首先只考慮兩個(gè)數(shù)，即n=2的情況。

?

假設(shè)x1=1，x2=2。采用Matlab或Excel軟件作出f(k)隨k（-100≤k≤100且k≠0）的變化曲線。

可以發(fā)現(xiàn)：

? ? 將f(k)表達(dá)式整理一下，有 ?

也就是說，f(k)的k次方其實(shí)就是x1的k次方和x2的k次方之和的平均值，這也是為什么把f(k)叫作平均數(shù)的原因。

事實(shí)上，f(k)是k的單調(diào)遞增函數(shù)這一結(jié)論對(duì)于3個(gè)甚至n個(gè)數(shù)也是成立的。感興趣的朋友可以嘗試一下。

學(xué)過高等數(shù)學(xué)的都知道，想要證明f(k)是k的單調(diào)遞增函數(shù)，只需證明其導(dǎo)數(shù)大于等于0就行。

這里重新寫一下f(k)表達(dá)式

兩邊取對(duì)數(shù)求導(dǎo)后得到

?

可見F(k)的導(dǎo)數(shù)與k同號(hào)，F(xiàn)(k)在k<0時(shí)為減函數(shù)，在k>0時(shí)為增函數(shù)，F(xiàn)(k)在k=0處有極小值。


?

因此f(k)導(dǎo)數(shù)大于等于0，f(k)為單調(diào)遞增函數(shù)。

f(k)最小值和最大值分別在負(fù)無窮和正無窮處取得。

利用夾逼原理求極限之后可以發(fā)現(xiàn)

也就是

還有，我們應(yīng)該注意到f(k)的定義域是不包含k=0這個(gè)點(diǎn)的，否則指數(shù)就會(huì)出現(xiàn)1/0這樣的尷尬局面，但是我們可以求k趨于0時(shí)f(k)的極限。

這不就是之前無法包含在f(k)定義中的幾何平均數(shù)嗎，居然出現(xiàn)在了這里。

因此，可以定義f(k)最終表達(dá)式為

f(k)滿足以下性質(zhì)：

此時(shí)，高中學(xué)過的均值不等式就可以表示為

?

即 負(fù)一次方平均數(shù)≤零次方平均數(shù) ≤一次方平均數(shù)≤平方平均數(shù) 可見其只是f(k)極為特殊的情況而已。

以上內(nèi)容是小編懷著對(duì)數(shù)學(xué)的一腔熱忱和好奇總結(jié)出來的，本以為能發(fā)個(gè)SCI論文，結(jié)果網(wǎng)絡(luò)搜索之后發(fā)現(xiàn)，前人早就得到了上述結(jié)論，還將其稱之為“冪平均不等式”（百度百科就有），小編的SCI夢(mèng)想就此破滅。





審核編輯：劉清