線性系統是什么

線性系統是指同時滿足疊加性與均勻性（又稱為其次性）的系統。所謂疊加性是指當幾個輸入信號共同作用于系統時，總的輸出等于每個輸入單獨作用時產生的輸出之和；均勻性是指當輸入信號增大若干倍時，輸出也相應增大同樣的倍數。對于線性連續控制系統，可以用線性的微分方程來表示。不滿足疊加性和均勻性的系統即為非線性系統 。

由于線性系統較容易處理，許多時候會將系統理想化或簡化為線性系統。線性系統常應用在自動控制理論、信號處理及電信上。像無線通訊訊號在介質中的傳播就可以用線性系統來模擬。

線性系統的函數表達為

如圖：

線性系統和非線性系統的區別

如果從系統狀態空間表達式來觀察，線性系統和非線性系統最明顯的區別方法就是線性系統遵從疊加原理，而非線性系統不然。

所謂疊加原理舉個例子就是：

f（x）=2x，f（y）=2y，f（x+y）=2（x+y）=2x+2y=f（x）+f（y）

舉個反例：

f（x）=2x^2，f（y）=2y^2，f（x）+f（y）=2（x^2+y^2），但f（x+y）=2（x+y）^2，兩個顯然不等。

換句話說，線性系統的表達式中只有狀態變量的一次項，高次、三角函數以及常數項都沒有，只要有任意一個非線性環節就是非線性系統。

判斷線性系統的例題

判斷下述微分方程所對應的系統是否為線性系統？

分析：

1）均勻性

設信號e（t）作用系統，響應為r（t）。當激勵Ae（t）作用于系統時，根據描述系統的微分方程，將方程兩邊乘以A，得到

這是先經系統，再線性運算的結果。

下面討論先線性運算，再經系統的結果。顯然線性運算后的激勵為Ae（t）。而若系統具有均勻性的話，根據描述系統的微分方程，所得結果應該是

顯然式（1）不等于式（2），即系統不滿足均勻性。

2）疊加性

假設兩個激勵分別為e1（t）和e2（t），其相應的響應分別為r1（t）和r2（t）。根據描述系統的微分方程，有下列關系成立。

這是先經系統，再線性運算的結果。

下面討論先線性運算，再經系統的結果。顯然線性運算后的激勵為e1（t）+e2（t）。而若系統滿足疊加性的話，根據描述系統的微分方程，所得結果應該是

顯然式（5）不等于式（6），即系統不滿足疊加性。

由1）和2）中的結論得知，該系統既不滿足均勻性，也不滿足疊加性，顯然是非線性系統。

延伸閱讀：

怎樣區分線性和非線性_線性與非線性的區別（線性分析、線性模型）