1.IIR濾波器的原理

1.1 概述

《數字信號處理》作為一門通信、電子、信息等本科專業基礎課程，在《信號與系統》課程的基礎上，學習離散信號與離散時間系統，尤其是離散傅里葉變換（DFT）和快速傅里葉變換（FFT）、數字濾波器、多速率信號處理等在通信、雷達等領域得到廣泛應用。

無限脈沖相應（Infinite Impulse Response ，IIR）濾波器與（Finite Impulse Response ，FIR）濾波器構成了兩種常用的數字濾波器，這兩者既有聯系，也有區別。

首先，IIR濾波器具有很高的濾波效率，在相同幅頻響應條件下，所需的濾波器階數明顯比FIR濾波器低。其次，IIR濾波器的設計，可以借鑒模擬濾波器的設計成果。此外，IIR濾波器可以用較少的硬件資源（主要是乘加運算的DSP資源）獲得較好的濾波器幅頻特性。

需要注意的是，IIR濾波器的一個顯著特點是不具備嚴格的線性相位特性，相對于FIR濾波器而言應用范圍較窄，只有在不需要嚴格線性相位特性的情況下，可以利用IIR濾波器實現數字濾波。

數字濾波器通常由一個系統函數、差分方程、方框圖或流圖來表示：

其基本運算單元、方框圖及流圖為：

例如給定一個二階濾波器：，則其方框圖結構與流圖結構如下圖所示。

在流圖結構中，我們還需要弄清楚以下幾個基本概念：

節點：

源節點：只有輸出、沒有輸入的的節點

阱節點（輸出節點）：只有輸入支路而沒有輸出支路，它一般代表系統的輸出變量，故也稱為輸出節點。

網絡節點：分支節點或加法器

支路：只有一個輸入，由一個或多個輸出的節點

節點的值=所有輸入支路的值之和

支路的值=支路起點處的節點值×傳輸系數

知乎話題：如何通俗易懂地理解FIR/IIR濾波器？

1.2IIR濾波器的原理及特性

LLR濾波器具有以下結構及特點：

IIR濾波器的特點：

系統的單位抽樣相應h(n)無限長理解：由于本步驟的輸出會作為下一步驟的輸入，無限遞歸下去，所以一個時刻的影響就是無限的，也就是“無限沖激響應”。

系統函數H(z)在有限z平面（ 0<|z|<∞）上有極點存在LSI系統因果穩定性：一個LSI系統是因果穩定系統的必要與充分條件是系統函數H(z)必須是在從單位圓|z|=1到|z|<∞的整個z平面內（0≤|z|≤∞）收斂。即：系統函數H(z)的全部極點必須在Z平面的單位圓以內。

存在輸出到輸入的反饋，遞歸型結構在物理世界的時間系統中，因環境噪聲等不可控因素，IIR濾波器將可能導致所設計系統不穩定，反復遞歸振蕩。

如果只有不為0，其他，則稱為全極點型的IIR濾波器或自回歸（AR）系統，如果由兩個或多個，則稱為零-極點型的IIR濾波器或自回歸滑動平均（ARMA）系統。

IIR濾波器結構：直接I型、直接II型、級聯型、并聯型和格型結構。

單位沖擊相應h(n)為實數。

1.3 IIR濾波器的結構

1.3.1 直接I型

對于差分方程：如果先實現各的加權和，再實現各的加權和，則稱之為直接I型。

1.3.2直接II型

將直接I型結構的兩個延時鏈子系統的次序進行交換，并將有相同輸出的中間兩延時鏈加以合并，即可得到直接II型結構（典范型結構）。

直接型的共同缺點

對于高階濾波器，系數a_k和b_k分別對濾波器的極點與零點的控制作用不明顯，即對頻率響應的控制作用不明顯，因而調整頻率響應比較困難。

極點對系數的變化過于靈敏，易出現不穩定或較大誤差

運算的累積誤差較大：乘法運算的量化誤差，造成系統輸出端噪聲功率大

1.3.3 級聯型

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1.3.4并聯型

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2.IIR濾波器的設計方法

程佩青《數字信號處理教程》（第四版簡明版）第6章總結的IIR濾波器設計方法

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顯然，在數字化時代，利用MATLAB、FPGA、DSP等軟硬件來設計濾波器，才能應用到產品中！

3.IIR濾波器的MATLAB設計

MATLAB軟件提供了豐富的濾波器設計方法，例如Signal Processing Toolbox提供了FIR、IIR、單速率和多速率濾波器設計、分析和實現的案例，可以用于設計參考。

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除了函數，我們也可以利用filterDesigner設計。命令行鍵入filterDesigner ，回車。

進入濾波器設計界面，設計一個IIR濾波器。

在界面的左側，顯示當前濾波器信息。“響應類型”用于指定濾波器的作用。“設計方法”包含IIR和FIR，用于指定濾波器的類型。設置濾波器的階數，設定頻率的單位可以采用歸一化或Hz、kHz、MHz等。參數設置完畢，點擊“設計濾波器”，可通過工具欄查看所設計濾波器的幅值響應、相位響應、群延遲響應、零極點圖等。并可在左上角查看當前濾波器信息。

設計確定后，可對濾波器系數進行量化。設置量化參數，濾波器算法選擇“定點”，系數字長設為16。

需要注意的是，在生成.coe文件時，需要滿足定點、單節和直接型的FIR，才能支持Xilinx FPGA所需的.coe文件。我們也可以將所設計濾波器導出生成.m文件，以供應用。

此外，我們可以應用designfilt設計濾波器，再用filter對數據進行濾波。

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例如，設計一個低通IIR濾波器。

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4.IIR濾波器的FPGA實現

IIR濾波器的FPGA實現比較復雜，需要應用到除法器。在利用FPGA實現IIRA濾波器前，我們需要將MATLAB設計的IIR濾波器滿足設計需求后，將系數進行量化。

示例：采用cheby2函數設計一個階數為7（級數為8）的帶通濾波器，采樣頻率為2000Hz、截至頻率為500Hz、阻帶衰減為60dB，設計一個IIR濾波器。

c=fvtool(b,a)，將濾波器可視化。

為方便FPGA實現，我們需要將系數進行量化定點。對于IIR濾波器的FPGA設計，可以參考杜勇的《數字濾波器的MATLAB與FPGA實現》第5章。在實際應用中，很少用IIR濾波器去做設計，而是更多的應用FIR濾波器設計。

最后，我們需要將處理結果進行對比，確保設計一致。

審核編輯：黃飛

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