1、引言

混沌理論（ChaosTheory）是架起確定論和概率論兩大理論體系之間的橋梁，與相對(duì)論、量子力學(xué)一起被稱(chēng)為20世紀(jì)物理學(xué)的三大科學(xué)革命。混沌研究最先起源于1963年洛倫茲（E.Lorenz）研究天氣預(yù)報(bào)時(shí)用到的三個(gè)動(dòng)力學(xué)方程，后來(lái)又從數(shù)學(xué)和實(shí)驗(yàn)上得到證實(shí)。混沌來(lái)自非線(xiàn)性，是非線(xiàn)性系統(tǒng)中存在的一種普遍現(xiàn)象。無(wú)論是復(fù)雜系統(tǒng)，如氣象系統(tǒng)、太陽(yáng)系，還是簡(jiǎn)單系統(tǒng)，如鐘擺、滴水龍頭等，皆因存在著內(nèi)在隨機(jī)性而出現(xiàn)類(lèi)似無(wú)軌、但實(shí)際是非周期有序運(yùn)動(dòng)，即混沌現(xiàn)象。近年來(lái)，混沌現(xiàn)象及其應(yīng)用已成為通訊工程、電子工程、生物工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中的一個(gè)研究熱點(diǎn)。由于電學(xué)量（如電壓、電流）易于觀(guān)察和顯示，因此非線(xiàn)性電路逐漸成為混沌及混沌同步應(yīng)用的重要途徑，其中最典型的電路是美國(guó)加州大學(xué)伯克利分校的蔡少棠教授1985年提出的著名的蔡氏電路（Chua’sCircuit）。蔡氏電路是能產(chǎn)生混沌行為的最簡(jiǎn)單的自治電路，是至今所知唯一的混沌實(shí)際物理系統(tǒng)，已被希爾尼柯夫定理嚴(yán)格證明存在混沌現(xiàn)象。就實(shí)驗(yàn)而言，可用示波器觀(guān)察到電路混沌產(chǎn)生的全過(guò)程，并能得到雙渦卷混沌吸引子，有興趣的讀者不妨親自搭試電路，實(shí)際觀(guān)測(cè)一番。

2、蔡氏電路

圖1就是討論非線(xiàn)性電路系統(tǒng)的一種簡(jiǎn)單而又經(jīng)典的電路———蔡氏電路，它是由兩個(gè)線(xiàn)性電容C1和C2、一個(gè)線(xiàn)性電感L、一個(gè)可變線(xiàn)性電阻R0和一個(gè)非線(xiàn)性電阻R構(gòu)成。電感L和電容C2并聯(lián)構(gòu)成振蕩電路，線(xiàn)性電阻R0的作用是分相。非線(xiàn)性電阻R的伏安特性iR=g（uR），是一個(gè)分段線(xiàn)性的負(fù)電阻，如圖2所示，整體呈現(xiàn)對(duì)稱(chēng)但非線(xiàn)性。負(fù)阻是出現(xiàn)混沌的原因，其特性至少可用三種方法來(lái)實(shí)現(xiàn)：兩個(gè)晶體管和兩個(gè)二極管;一個(gè)運(yùn)算放大器和兩個(gè)二極管;一個(gè)雙運(yùn)算放大器和六個(gè)線(xiàn)性電阻組合。

圖1電路中有3個(gè)狀態(tài)變量uC1，uC2和uL，電路的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程為：

式中：uC1，uC2和iL分別表示C1、C2兩端的電壓，L中的電流。g（uR）是負(fù)阻曲線(xiàn)。蔡氏電路是能產(chǎn)生混沌行為的最小、最簡(jiǎn)單三階（3個(gè)狀態(tài)變量）自治（方程右端不顯含時(shí)間）電路。

3、電路混沌的實(shí)驗(yàn)研究

混沌實(shí)驗(yàn)電路如圖3所示。這里將蔡氏電路中的非線(xiàn)性電阻R的特性通過(guò)一個(gè)雙運(yùn)算放大器和6個(gè)線(xiàn)性電阻組合來(lái)實(shí)現(xiàn)，具體參數(shù)選取如下：R1=5.1kΩ，R2=3.3kΩ，R3=1kΩ，R4=R5=100Ω，R6=5.6kΩ。每次取兩個(gè)狀態(tài)變量在示波器上觀(guān)察李薩如圖形。

3.1、改變電阻R0，其它參數(shù)保持不變。

在合適選取C1、C2和L以后，如取C1=4700pF，C2=0.1μF，L=10mH，調(diào)節(jié)R0。當(dāng)R0由3kΩ逐漸減小時(shí)，在示波器上看到，例如由uC1-uC2呈現(xiàn)的變化規(guī)圖3非線(xiàn)性電路混沌實(shí)驗(yàn)電路圖律。由1個(gè)點(diǎn)（穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn)）→1個(gè)圈（Hopf分岔，出現(xiàn)單周期極限環(huán)）→2個(gè)圈（倍周期分岔，出現(xiàn)2周期極限環(huán)）→22圈（4周期極限環(huán)）→……→2∞個(gè)圈（單渦卷混沌吸引子）。實(shí)驗(yàn)中一般能觀(guān)察到周期8，由于變化速度太快很難看到大于8的周期。周期為無(wú)窮大也就是沒(méi)有周期，這就是混沌。在上述參數(shù)值下，R0=1.5kΩ左右時(shí)電路可進(jìn)入混沌狀態(tài)。繼續(xù)減小R0，還會(huì)出現(xiàn)雙渦卷混沌吸引子，只見(jiàn)環(huán)形曲線(xiàn)在兩個(gè)外渦卷的吸引子之間不斷填充與跳躍，這就是混沌研究文獻(xiàn)中所描述的“蝴蝶”圖像，也是一種奇異吸引子，它的特點(diǎn)是整體上的穩(wěn)定性和局部上的不穩(wěn)定性同時(shí)存在。圖4是一個(gè)單渦卷混沌吸引子，圖5、圖6都是雙渦卷混沌吸引子。

利用這個(gè)電路，還可以觀(guān)察到周期性窗口，仔細(xì)調(diào)節(jié)R0，有時(shí)原先的混沌吸引子不是倍周期變化，卻突然出現(xiàn)了一個(gè)三周期圖像，再微調(diào)R0，又出現(xiàn)混沌吸引子，這一現(xiàn)象稱(chēng)為出現(xiàn)了周期性窗口。