說在前面

1.寫作目的

文章《萌新筆記-天線（原理篇）》介紹了天線分析的基礎理論、常用工程參數以及常見天線的輻射特性分析，但是沒有針對陣列天線進行深入介紹。最近在開展相控陣+載體的一體化仿真研究，其中相控陣的仿真實現需要依托Matlab-FEKO-API，會涉及到相控陣單元間距、饋電幅度/相位分布計算、波束掃描的實現等相關設計問題，籍此對陣列天線的分析和綜合基礎進行了系統學習。

2.內容涉及

本文的行文邏輯將從以下四個方面展開：

底層認知：將通過最通俗易懂的語言對于天線的輻射機理進行描述，幫助讀者建立起對陣列天線輻射機理最直觀的認識；

理論基礎：分為直線陣列和平面陣列兩大類，詳細闡述陣列天線分析理論基礎以及主要的綜合方法。理論基礎的學習主要基于陣列天線的學習主要依托王建的《陣列天線分析和綜合講義》、薛正輝的《陣列天線分析和綜合》以及諾斯羅普-格魯曼天線工程師布朗的《電掃陣列——MATLAB建模與仿真》三本教材展開：

學術前沿：針對一些最新的碩、博論文，進行系統學習，就陣列天線的兩個主要研究方向（陣列綜合算法和陣列天線工程設計）進行開展，基于前面設計的陣元幅、相分布，完成一個陣列天線的設計； ?

仿真實踐：針對陣列天線的相關應用場景，基于仿真軟件HFSS、FEKO，介紹陣列天線幾種實現方法，仿真實踐的學習主要基于ANSYS和Altair官網培訓視頻、幫助文檔以及李明陽、徐興福、謝擁軍所著的HFSS培訓教材展開。

底層認知

”干涉“和”衍射“是區別”波“和”粒子“的兩個基本特征，電磁波作為”波“的一種，自然也具備”干涉“和”衍射“現象。其中，所謂”波的干涉“，即具有相同工作頻率的兩個或多個波源所產生的波在空間傳輸的過程中，會發生疊加的現象，從而形成”波峰“和”波谷“交替出現的現象（圖片來自網絡）。

陣列天線的輻射機理就是大量天線單元輻射的電磁波產生了”干涉“現象，不同天線陣元輻射的電磁波，同相疊加時，產生波瓣，在反相相消的地方，形成零點。如圖所示為含有5個單元的陣列天線的近場和遠場分布圖像，由由圖可知：一方面電場如同波浪起伏一般由近及遠的向前傳播，另一方面，不同于單天線的近場分布，陣列天線的電場分布沿周向的分布并不均勻，可以發現在某些扇區較亮（場分布同相疊加），而在某些扇區則較暗（場分布反相相消），從而導致天線陣列的遠場方向圖表現出明顯的方向性。

?

?

?

理論基礎?

1.直線陣列分析與綜合

1.1 直線陣列分析

陣列天線性能主要取決于四個參數：

單元總數：如直線陣的N，平面陣的M*N；

單元空間分布(周期)：如直線陣的d，平面陣的dx和dy；

單元激勵幅度分布：如直線陣的，平面陣的 ?;

單元激勵相位分布：如直線陣的 ，平面陣的。

電流源的輻射場

正如《萌新筆記—天線（原理篇）》一文中所介紹的，空間中的電/磁場可經由輻射體上面的電流分布求得，一般有兩種方法：1）直接法：直接利用格林函數機進行計算，2）間接法：使用“位函數”進行過渡，先通過輻射體表面電流分布建立“位函數”的表達式，再利用“位函數”計算電磁場分布。

電場分布與磁失位和電標位之間的關系為：

帶入maxwell方程組，即可建立“A”和“”滿足的波動方程：

可知，中間變量滿足的波動方程的形式要比“E”和“H”滿足的波動方程的形式簡單很多，由《電磁CAE設計師的你，有必要了解計算電磁學嗎？》文章可知，該方程的解可以借助“格林函數”快速求出：

求出中間變量的空間分布后，利用“E”、“H”與中間變量的關系，即可求解出空間中電磁場的分布。遠場區：，為小量，近似省略，因此有：

矢量位與“Z軸”平行，遠場區電場只有“”方向分量（電場遠區封閉，“r”方向分量趨于0）：

則有：

其中表示源點的坐標，R表示源點與場地之間的間距：，帶入電場表達式，可得：

下面以等幅激勵的均勻直線陣列為例，介紹陣列天線的陣因子、波束指向、增益、波束寬度、副瓣電平等主要參數。

陣因子方向圖?

任意形式單元天線的遠區輻射場可以統一表示為一下形式：

其中表示每個天線單元的饋電（幅度和相位），表示由于天線電流的分布導致遠場分布的方向性，即單元方向圖，而則是“格林函數”項，表示理想點源的遠場分布形式。三部分共同框定了天線單元對遠場輻射總場的貢獻。

陣列的輻射總場可以簡單的表示為各天線單元輻射場的疊加，即為：

其中為第n個單元源點與場點的距離：為波程差，即第n個單元源-場距離與原點-場點距離之差，帶入化簡可得：

天線單元的饋電部分可以表示為“復數”形式，即為：，則總場可以化簡為：

其中，為陣因子，表示天線單元的組陣給遠場方向圖帶來的二次賦形。至此，直線陣列天線的遠場方向圖就算完成了求解，其結構組成也非常清晰，由三部分組成：

第一項為“格林函數”項，表示理想點源在空間的場分布，其為各向同性的；

因為天線單元表面電流的連續分布，使得遠場方向圖被“一次賦形”，“賦形因子 ”即為單元方向圖；

因為單元組陣，使得遠場方向圖被“二次賦形”，“賦形因子”即為陣列天線的陣因子。

單元相位遞變，因此，饋電幅度，則陣因子可簡化為：

接下來將重點研究因為單元組陣而引起的“二次賦形”，即陣因子。對于均勻直線陣，，利用歐拉公式（詳細推演見參考教材），陣因子可以化簡為：

其中。?

波束指向?

當時，利用無窮小理論，取最大值，為方向圖的主瓣方向，主瓣指向可以利用進行確定：

當所有單元相位一致時，即，則，波束未掃描；當各單元相位均勻遞變時，則波束指向則隨著的變化而進行變化，即為相控掃描，這就引出了相掃陣列的一個基本邏輯：

波程差=相位差

?

?

?

?

%?matlab繪制動態波束掃描（保存GIF格式）
clc;clear?all;
%%參數列表
a=0;???????????%相位差
N=10;???????????%陣元數目
c=3e9;??????????%光速
freq=10e9;??????%工作頻率
lambda=c/freq;??%波長
d=0.5*lambda;???%陣元間距
k=2*pi/lambda;??%波矢
%%
x=0180;

figure(1);
set(gcf,'position',[0,0,800,600],'color','w');
for?i=1:47
????str_title?=?strcat('color{red}a=',num2str(a));
????y=abs((sin(N.*(k.*d.*cos(x.*pi./180)+a.*pi./180)/2))./sin((k.*d.*cos(x.*pi./180)+a.*pi./180)/2));%方向圖函數
????a=(i-1)*360/120;??%相位差掃描范圍
????figure(i);
????
????set(gcf,'position',[0,0,800,600],'color','w');
????p1?=?polarplot(x.*pi./180,y,'r','LineWidth',3);
????hold?on;
????title('波束掃描','fontsize',15);
????text(-0.2,2.3,str_title,'FontName','Times?New?Roman','FontSize',20);
????%%保存為gif格式
????frame?=?getframe(gcf);
????im?=?frame2im(frame);
????[I,map]?=?rgb2ind(im,256);
????if?i==1
????????imwrite(I,map,'波束掃描.gif','gif','Loopcount',Inf,'DelayTime',0.05);
????else
????????imwrite(I,map,'波束掃描.gif','gif','WriteMode','append','DelayTime',0.05);
????end
????close(figure(i));
end

主瓣寬度?

天線的主瓣寬度通常指方向圖主瓣增益下降3dB（半功率）時所對應的波束寬度，功率下降為原來的0.5倍，則電場幅值下降為原來的0.707倍（），即有歸一化陣因子:

=0.707

其中，對于側射陣（端射狀態詳見教材），主瓣指向，經過化簡計算，可得波束寬度：

為波束掃描角。可見：1）陣列單元數目N越大，波束越窄；2）掃描角度（相對側射狀態）越大，波束越寬，利用該公式可以在陣列設計之初，對天線陣列的波束寬度進行估計。

方向性系數D?

均勻直線陣的方向性系數D定義為主瓣最大方向的功率密度與平均功率密度之比，可以由如下公式進行計算：

其中為歸一化陣因子，，對進行計算，可得：

則方向性系數D為：

其中為陣列長度（口徑）。

副瓣電平?

副瓣電平為天線的重要技術指標，乃至于后續天線綜合的主要工作就是圍繞著副瓣電平SLL的優化而開展的。其定義為最大副瓣與主瓣之比，即：

對于均勻直線陣，第一副瓣即為最大副瓣，此時，其中，帶入公式，可以算的：

=-13.5dB

即均勻直線陣的副瓣電平并不是特別優秀，想要獲得更低的副瓣電平，還需要進一步對陣列單元的饋電幅度進行一定的設計，這就是“陣列綜合”的知識了。

柵瓣抑制?

由上文可知，均勻陣線陣列的陣因子為：

為周期函數（周期為，取絕對值后周期為周期為），即與主瓣等高的波瓣會每隔出現一次。

因此要抑制柵瓣的出現，就需要對u的取值范圍，即，化簡可得：

此即為均勻直線陣的柵瓣抑制條件。

1）對于側射陣：，則有;?

2）當波束掃描時，按掃角計算，則取，

，一般取

1.2 直線陣列綜合?

等幅激勵直線陣的副瓣電平太高，無法滿足工程上的使用要求，因此提出兩種陣列綜合的方法，目標是降低天線的副瓣電平。陣列綜合方式：已知方向圖參數（副瓣電平等），求解陣元的電流分布（幅度+相位），最主要的的是求電流的幅度分布，相位分布依據波束指向，根據“相位差=波程差”的原則進行計算，與綜合方法無關。

其中之一為切比雪夫綜合法，該綜合法是一種等副瓣的綜合方法，其特點為：

等副瓣電平；

在相同副瓣電平和相同陣列長度下主瓣最窄，在主瓣寬度一定的情況下旁瓣最低，為最佳陣列；

單元數多（N>13）時，陣列兩端單元激勵幅度跳變大，使饋電困難。

為了防止讀者陷入浩瀚 的公式推演而迷失方向，先介紹一下“切比雪夫綜合“的實現思路：1）第一步就是基于切比雪夫多項式建立一個目標方向圖表達式；2）第二步就是計算N元陣的方向圖表達式，并令其與目標方向圖相等，從而計算出陣元幅度分布。

切比雪夫多項式

切比雪夫多項式為如下二階微分方程的解：

令

則上式可化簡為：

方程的一個解為：? 同時，基于三角恒式：? 可得切比雪夫多項式的遞推關系式：? 利用遞推關系式可計算得到任意階切比雪夫函數的“多項式”表達形式：

上面為的函數形式，當時，則變成雙曲余弦的形式，整合下來，切比雪夫函數的“三角函數”表達形式為：

利用matlab作圖可以畫出任意階切比雪夫函數曲線如下圖所示，由圖可知當時，切比雪夫多項式為振幅為1的振蕩曲線，當時，曲線快速上升，若將作為方向圖主瓣位置，將區域作為方向圖的副瓣區域，則可以實現方向圖的副瓣電平SLL的調節。

clc;clear?all;close?all;
x=-1.11.1;
y=zeros(1,length(x));
for?m=15
????for?i=1:length(x)
????if?abs(x(i))<1
????????y(i)=cos(m*acos(x(i)));
????elseif?abs(x(i))>=1
????????y(i)=cosh(m*acosh(x(i)));?
????end
end
plot(x,y);
hold?on;
end

?

?

乍一看，曲線很亂，很難將其與陣因子方向圖聯系起來，現在我們嘗試通過一系列變換建立其與方向圖的聯系（取n=8，函數曲線取坐標系的正半邊進行考察），變換過程如下：

取的切比雪夫多項式進行研究，由圖可知時，曲線在內振蕩，的位置決定了的高度，曲線如圖1所示；

令，將曲線定義域收縮至[0，1]；

對表達式取絕對值，即忽略電場方向帶來的“正負”，統一考察電場幅值大小；

令,會發現原本的函數曲線竟然神奇變成了我們熟悉的方向圖。由圖可知：1）該方向圖所有副瓣均相等（等副瓣）；2）副瓣電平始終為1，主瓣電平為，主副瓣比SLL的大小取決于最初選擇的的大小，即主副瓣比可調。

?切比雪夫綜合?

由上面可知，經由切比雪夫多項式，通過適當的變換，就可以得到主副瓣比可調的等副瓣方向圖，下面就需要建立目標陣因子和切比雪夫函數的關系，以期實現相同的方向圖分布特性。非等幅的直線陣列的的陣因子為：

設饋電幅度為對稱分布，按照陣元數目的奇偶，依據歐拉公式，對稱位置兩兩相消，陣因子可以化簡為：

當均取1時（即為等幅），計算可得其SLL明顯小于切比雪夫陣：

如果令：

我們就會發現陣因子中的每一項都是一個切比雪夫多項式，其中：

因此陣因子表達式即為一系列切比雪夫多項式的和：

總結下來，切比雪夫陣的設計思路為：如果希望待優化陣因子變成理想方向圖，那么就需要令其等價的切比雪夫多項式之和與相應最高階切比雪夫多項函數相等，從而求出陣列饋電幅度分布{......}。同時，通過的調節，即可實現方向圖副瓣電頻SLL的調節。

實際工程中，無需手動計算出切比雪夫綜合的陣元分布，利用MATLAB自帶的函數即可輕松完成計算。

N=16；%陣元數目
SLL=20；%副瓣電平
w = chebwin(N,SLL)；%輸出陣元幅度分布
wvtool(w)；%查看陣元幅度分布及方向圖預覽

?

?

泰勒綜合法?

當陣列單元數目較多（），切比雪夫陣列兩端單元的激勵幅度將發生跳變，即最末單元比其相鄰單元的激勵幅度大許多，不利于饋電并對方向圖副瓣電平影響很大，此時需要引入泰勒綜合法。

采用泰勒綜合方法設計的泰勒陣列，其方向圖只是靠近主瓣某個區域內的副瓣電平接近相等，隨后單調減小，有利于提高天線的方向性，且激勵的幅度分布的變化在陣列兩端是單調減小的，不會出現兩端單元激勵幅度跳變的情況。

與”切比雪夫綜合“類似，”泰勒綜合“的思路也大致分為兩步：1）依據切比雪夫多項式，結合理想線源函數，通過變換，構建目標方向圖（泰勒函數）；2）計算連續線源的方向圖表達式，并令其等于目標方向圖，從而計算出”連續線源“的分布，在對其離散，即得到N元陣列的幅度分布。

泰勒綜合的參考函數起源于切比雪夫函數，令，即有：

利用MATLAB繪制其曲線如圖所示，其與陣因子方向圖十分相似：

當變量N趨于時，參考函數就轉化為理想線源的空間陣因子：

其方向圖形式為：

為等副瓣形式，通過引入基本函數波瓣展寬因子，改造基本函數，構建泰勒方向圖函數：

該方向圖函數的含義是：把基本函數前個零點用于改造的理想空間因子的零點取代，而第個以后的零點保持為基本函數的零點。

所構造的泰勒方向圖函數既保持了理想空間因子可調副瓣電平和前個副瓣近似相等的性質，又在遠副瓣（第個及以后）保持了基本函數的副瓣峰值以衰減的性質。總結下來，泰勒函數的構造過程如下圖所示：

第一步，我們已經構造了一個完美的方向圖函數，其有著可調的副瓣電平以及遞減的旁瓣，現在所要做的就是朝著這個完美的方向圖函數努力前進，讓待優化陣因子與其相等，從而求出陣元幅度分布即可。

連續線源的方向圖?

從連續線源的方向圖分布聊起，假設其電流分布為：

其中展開系數為未知項，該電流分布所對應的空間陣因子的表達式為：

這就是待優化陣因子的表達式，令其等于泰勒方向圖陣因子，即可求解出展開系數從而完成了連續線源電流分布的綜合。

上式即為綜合得到的連續線源的電流分布。對于直線陣列的各單元的饋電分布，只需要對連續電流進行抽樣離散即可。

即為每個陣元的饋電幅度，其中，,

實際設計過程中，以上的綜合過程無需設計師手動計算，MATLAB中內置Taylor函數，可以按照陣元數目、主副瓣比SLL和值，直接綜合出相應的饋電分布。

N=64;%陣元數目
n=4;%遠副瓣位置
SLL=-35；%副瓣電平
w?=?taylorwin(N,n,SLL);  %輸出陣元幅度分布
wvtool(w)；%查看陣元幅度分布及方向圖預覽

泰勒綜合設計準則

依據主副瓣比選擇合適的，的含義是泰勒方向圖的前個副瓣近似相等，其應該根據主副瓣比來選擇，一般可取，其中,為主副瓣比。

泰勒綜合的單元數目不能太少，否則按主副瓣電平比的陣列方向圖副瓣電平，不能達到設計目的。

在陣列天線設計中，各單元的激勵分布都是理想分布。然而實際加工出來的饋電網絡總是存在誤差，加之單元間的互耦誤差等，陣列天線的副瓣電平實測值會有所惡化，因此副瓣電平設計值需留有余量，一般取7~10dB。

2.平面陣列分析與綜合?

2.1 平面陣列分析?

基于直線陣列的基本原理，依托可分離原理，重點介紹“矩形柵格”形式的平面陣列。

陣因子方向圖

直線陣中方向圖表達通式也可以被應用于平面陣列，任意形式單元天線的遠區輻射場可以統一表示為一下形式：

其中表示每個天線單元的饋電（幅度和相位），表示由于天線電流的分布導致遠場分布的方向性，即單元方向圖，而則是“格林函數”項，表示理想點源的遠場分布形式。三部分共同框定了天線單元對遠場輻射總場的貢獻。

其中：

則第mn個單元的遠區輻射場為：

整個平面陣的遠區輻射場為：

如果平面陣按列分布為；按行的分布為，則總的饋電幅相為：

為可分離型。可分離型陣列的陣因子也是可分離型的，陣因子為：

其中：

可知，矩形柵格的矩形平面陣列，如果其饋電分布是可分離，則該平面陣列的陣因子方向圖就是沿x和y方向排列的直線陣列陣因子方向圖的乘積，者也是方向圖相乘原理的一種體現。同理，參照均勻直線陣，對于等幅分布的均勻平面陣，其方向圖陣因子可以利用歐拉公式簡化為：

即為均勻直線陣因子的乘積。

平面波束指向?

波束掃描的核心就是：饋電相位差等于波程差

1）當時，出現最大值，此時,為波束指向，得：

同理，當時，出現最大值，得：

聯立可以解的波束指向 ,相反得，可以按照期望波束指向可以求得饋電相位差。

波束寬度?

經線所在平面內的半功率波瓣寬度

當(最大指向在xz平面內)：

當(最大指向在xz平面內)：

緯線切線所在平面的半功率波瓣寬度

當(最大指向在xz平面內)：

當(最大指向在xz平面內)：

即波束沿俯仰向進行掃描時，經向所在平面的波瓣寬度會逐漸展寬，而緯線切線所在平面額波瓣寬度不變。

方向性系數D

方向性系數的定義為最大增益與平均增益之比，即：

此處假設陣列數目非常多，單元方向圖近似單元陣因子。

對于均勻直線陣：

2.2 平面陣列綜合?

切比雪夫綜合法?

矩形柵格矩形邊界的切比雪夫平面陣有兩種形式，一種是可分離型分布的切比雪夫平面陣；另一種是不可分離分布的切比雪夫平面陣。 此處介紹簡單且更為常用的可分離型切比雪夫平面，其設計較為簡單，即沿兩個主平面方向圖指標（主瓣寬度、副瓣電平），分別設計沿x軸和y軸兩個方向排列的直線陣即可。

平面各陣元的饋電幅度可以通過直線陣列直接相乘得到。

clc;clear?all;
[x,y]=meshgrid(-7.57.5,-7.57.5);
Nx=16;%x方向陣元數目
Ny=16;%y方向陣元數目
SLL=20;%副瓣電平
wx?=?chebwin(Nx,SLL);%輸出x方向陣元幅度分布
wy=chebwin(Nx,SLL);%輸出y方向陣元幅度分布
Wxy=wx.*wy';     %直線陣列的饋電幅度分布相乘得到平面陣
surf(x,y,Wxy);   %陣元饋電幅度分布

?

?

泰勒綜合法

陣因子

其中：

類比于泰勒分布的“直線陣列”，圓口徑泰勒分布的“目標空間陣因子”為：同樣的，使用連續面源分布去擬合：計算出待定系數，即可得到圓口徑泰勒面源分布，再經過離散就是圓口徑泰勒陣列分布。雖然理論上，圓口徑泰勒分布為不可分離型，但是在實際工程中，通常也是使用線陣泰勒分布相乘得到面陣的方式來設計泰勒分布陣列天線。

clc;clear?all;
[x,y]=meshgrid(-7.57.5,-7.57.5);
Nx=16;%x方向陣元數目
Ny=16;%y方向陣元數目
SLL=20;%副瓣電平
wx=taylorwin(Nx,SLL);%輸出x方向陣元幅度分布
wy=taylorwin(Nx,SLL);%輸出y方向陣元幅度分布
Wxy=wx.*wy';
surf(x,y,Wxy);

3. 單脈沖體制?

陣列天線的方向圖中的和波束和差波束被廣泛關注，其背景即為雷達搜索中的”單脈沖體制“。通過窄波束掃描獲得目標的位置和距離信息是現代雷達的主要功能，其中“單脈沖技術”為應用最普遍的技術體制。（圖片來自網絡）

單脈沖雷達天線要求產生一個主瓣的和波束以及具有兩個（或四個）主瓣的差波束。差波束的兩個峰值之間的最小值稱為“零值”。和波束的作用是探測目標的距離（r）和進行距離跟蹤；差波束的作用是探測目標的方位角和俯仰角信息（,）和進行角跟蹤。

一個目標的距離信息 r 和角信息, 已知， 則目標的空間位置就確定了。如果目標正好在和波束最大值方向， 則差波束接收到的信號很弱(為零值)；當目標移動時， 則差波束接收到的信號由弱變強， 則可利用差信號來驅動伺服機構， 使天線在俯仰或方位上轉動，始終使差波束的零值方向對準目標，從而實現跟蹤 ，同時利用和波束接收到的回波信號時間差確定目標距離。

結語

本文為”陣列天線的分析和綜合基礎“的理論篇，分為直線陣列和平面陣列兩大類進行展開，介紹了”分析“和”綜合“兩部分，其中”分析“為依據陣列天線確定的幅、相分布來計算其輻射特性；”綜合“則根據總體提供的方向圖要求（主瓣增益、副瓣電平等參數）來反向確定天線的幅、相分布。全文在于解決”陣列天線設計“的前兩步：1）由淺入深的理解陣列天線的輻射機理；2）按照陣列天線設計指標，完成陣列天線單元數目、幅相分布的計算。下一篇為”實踐篇“，將在理論篇確定的陣列結構、幅相分布的基礎上，介紹”陣列天線設計“的工程實現以及相關使用相關仿真軟件進行”陣列天線設計“的方法。
編輯：黃飛

?