什么是拉普拉斯變換

　　拉普拉斯變換是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換，又名拉氏變換。拉氏變換是一個線性變換，可將一個有參數(shù)實數(shù)t（t≥ 0）的函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個參數(shù)為復(fù)數(shù)s的函數(shù)。拉普拉斯變換在許多工程技術(shù)和科學(xué)研究領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在力學(xué)系統(tǒng)、電學(xué)系統(tǒng)、自動控制系統(tǒng)、可靠性系統(tǒng)以及隨機服務(wù)系統(tǒng)等系統(tǒng)科學(xué)中都起著重要作用。

　　公式概念

　　拉普拉斯變換［2］ 是對于t》=0函數(shù)值不為零的連續(xù)時間函數(shù)x（t）通過關(guān)系式

　　（式中st為自然對數(shù)底e的指數(shù)）變換為復(fù)變量s的函數(shù)X（s）。它也是時間函數(shù)x（t）的“復(fù)頻域”表示方式。據(jù)此，在“電路分析”中，元件的伏安關(guān)系可以在復(fù)頻域中進行表示，即電阻元件：V=RI，電感元件：V=sLI，電容元件：I=sCV。如果用電阻R與電容C串聯(lián)，并在電容兩端引出電壓作為輸出，那么就可用“分壓公式”得出該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為H（s）=（1/RC）/（s+（1/RC）），于是響應(yīng)的拉普拉斯變換Y（s）就等于激勵的拉普拉斯變換X（s）與傳遞函數(shù)H（s）的乘積，即Y（s）=X（s）H（s）

　　如果定義：f（t）是一個關(guān)于t的函數(shù)，使得當(dāng)t《0時候，f（t）=0；s是一個復(fù)變量；mathcal 是一個運算符號，它代表對其對象進行拉普拉斯積分int_0^infty e‘ dt；F（s）是f（t）的拉普拉斯變換結(jié)果。

　　則f（t），的拉普拉斯變換由下列式子給出：F（s），=mathcal left =int_ ^infty f（t）’ e‘ dt 　拉普拉斯逆變換，是已知F（s）’ 求解f（t）的過程。用符號 mathcal‘ 表示。

　　拉普拉斯逆變換的公式是：對于所有的t》0，f（t）= mathcal ^ left=frac int_ ^ F（s）’ e‘ds，c’ 是收斂區(qū)間的橫坐標(biāo)值，是一個實常數(shù)且大于所有F（s）‘ 的個別點的實部值。

　　為簡化計算而建立的實變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對一個實變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運算，再將運算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計算簡化。在經(jīng)典控制理論中，對控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優(yōu)點，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個特性（見信號流程圖、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運動過程（見奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性。用 f（t）表示實變量t的一個函數(shù)，F(xiàn)（s）表示它的拉普拉斯變換，它是復(fù)變量s=σ+j&owega；的一個函數(shù)，其中σ和&owega; 均為實變數(shù)，j2=-1。F（s）和f（t）間的關(guān)系由下面定義的積分所確定：

　　如果對于實部σ 》σc的所有s值上述積分均存在，而對σ ≤σc時積分不存在，便稱 σc為f（t）的收斂系數(shù)。對給定的實變量函數(shù) f（t），只有當(dāng)σc為有限值時，其拉普拉斯變換F（s）才存在。習(xí)慣上，常稱F（s）為f（t）的象函數(shù)，記為F（s）=L［f（t）］；稱f（t）為F（s）的原函數(shù)，記為f（t）=L-1［F（s）］。

　　函數(shù)變換對和運算變換性質(zhì) 　利用定義積分，很容易建立起原函數(shù) f（t）和象函數(shù) F（s）間的變換對，以及f（t）在實數(shù)域內(nèi)的運算與F（s）在復(fù)數(shù)域內(nèi)的運算間的對應(yīng)關(guān)系。表1和表2分別列出了最常用的一些函數(shù)變換對和運算變換性質(zhì)。

　　拉普拉斯變化的存在性：為使F（s）存在，積分式必須收斂。有如下定理：

　　如因果函數(shù)f（t）滿足：（1）在有限區(qū)間可積，（2）存在σ0使|f（t）|e-σt在t→∞時的極限為0，則對于所有σ大于σ0，拉普拉斯積分式絕對且一致收斂。

　　基本性質(zhì)：線性性質(zhì)、微分性質(zhì)、積分性質(zhì)、位移性質(zhì)、延遲性質(zhì)、初值定理與終值。

　　應(yīng)用領(lǐng)域定理

　　有些情形下一個實變量函數(shù)在實數(shù)域中進行一些運算并不容易，但若將實變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運算，再將運算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，

　　在經(jīng)典控制理論中，對控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優(yōu)點，是可采用傳遞函數(shù)代替常系數(shù)微分方程來描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個特性、分析控制系統(tǒng)的運動過程，以及提供控制系統(tǒng)調(diào)整的可能性。

　　應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個信號從時域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（s域）上來表示；在線性系統(tǒng)，控制自動化上都有廣泛的應(yīng)用。

　　拉普拉斯變換的物理意義是什么？

　　從正則系綜配分函數(shù)切換到微正則系綜態(tài)密度或者說譜密度的時候，所用的是拉普拉斯逆變換；反之是拉普拉斯變換。其中核的指數(shù)上的復(fù)數(shù)也很好理解，它經(jīng)常出現(xiàn)于統(tǒng)計力學(xué)中的Lee-Yang理論（由李政道和楊振寧于1952年通過兩篇論文建立）：即復(fù)化之后的溫度，化學(xué)勢或者外磁場。

　　他們通過這種復(fù)化的方法推導(dǎo)出出了在熱力學(xué)極限下，系統(tǒng)發(fā)生一級或者連續(xù)相變的條件（原文是對于自旋系統(tǒng)的）：就像復(fù)分析里的branch cut一樣，Lee-Yang零點在復(fù)平面上聚集成一條線，只有取實數(shù)值的物理量在相變是跨過這條線，才會發(fā)生一級相變。這些零點解釋了為什么一個明明是解析函數(shù)的配分函數(shù)在相變時卻能導(dǎo)致發(fā)散的物理量，也給出了一個no-go theorem： 不取熱力學(xué)極限就不會發(fā)生相變；至今這套理論還是研究傳統(tǒng)非拓?fù)湎嘧兊睦鳌Ｓ腥藭f復(fù)的物理學(xué)量只是數(shù)學(xué)技巧罷了，但近來有實驗表明我們是能觀測到Lee-Yang零點的， 跑偏一點，這套理論還衍生出Lee-Yang edge，即高于相變溫度時，上述的Lee-Yang零點匯聚線終止于兩個臨界點，而用于描述該臨界點附近復(fù)物理量的理論是一個central charge為-22/5的2維共形場論，叫非幺正minimal model.

　　因此拉普拉斯變換在研究3維純量子引力（不含費米物質(zhì)）特別是黑洞熵以及黑洞Hawking-Page相變的時候，經(jīng)常出現(xiàn)在半經(jīng)典近似中，因為如果假設(shè)AdS/CFT成立，復(fù)化的熱力學(xué)量既屬于2維漸進邊界上的引力邊界條件，也是邊界2維共形場論的參數(shù)。可以參照下列Witten和尹希的文章（Maloney-Witten里（5.7）式附近把拉普拉斯逆變換寫成拉普拉斯變換了）。

　　PS： Lee-Yang的原文里只考慮了復(fù)化的外磁場和化學(xué)勢，叫做field-driven transition；復(fù)溫度是1965年Michael E. Fisher引入的，叫temperature-driven transition，是一個nontrivial的推廣，注意不要和有限溫度場論中的虛時間混淆。

　　數(shù)學(xué)上，其實把拉普拉斯變換看成Borel變換的推廣比看成是傅里葉變換的推廣更合適，因為后者的指數(shù)上也沒有虛數(shù)單位，專治非收斂級數(shù)，這和拉普拉斯變換代替傅里葉變換處理非收斂信號有異曲同工之妙。在物理中的用途嘛，最近在非微擾量子場論和弦論的resurgent analysis里火得不行呀