摘要：本文向廣大電路設(shè)計(jì)人員介紹了一種利用Excel電子表對電路進(jìn)行全面的統(tǒng)計(jì)分析的簡單方法，幾乎適用于任何電路。本文介紹的方法對于深入了解電路在實(shí)際環(huán)境中的運(yùn)行情況，確保較高的良率很有幫助。

引言

設(shè)計(jì)在實(shí)際環(huán)境中運(yùn)行良好的電路具有一定的挑戰(zhàn)性。僅僅以電路設(shè)計(jì)符合規(guī)范為目標(biāo)還不能滿足實(shí)際要求，準(zhǔn)確預(yù)測電路在一定范圍工作條件下的運(yùn)行狀況非常重要，包括元件值的實(shí)際變化。在深入了解這些運(yùn)行狀況的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)人員可以有效地選擇電路和元件，以達(dá)到所要求的制造容限。

構(gòu)建、測試和支持能夠在不同電路參數(shù)下運(yùn)行的電路成本較低。

本文闡述了利用容差分析預(yù)測良率，即有多少種以不同組件構(gòu)建的電路能夠符合規(guī)格要求。為了獲得有效的良率分析，必須要擁有：

• 較好的電路模型，包括重要元件、雜散特性等。
• 較好地預(yù)計(jì)元件值變化的模型
• 合格/不合格的定義或規(guī)格

利用這三種輸入，您可以進(jìn)行一些必要的計(jì)算，預(yù)測電路良率。根據(jù)問題的復(fù)雜程度選擇不同的計(jì)算工具，還需要評估人員具有敏銳的洞察力。表1對一些方法進(jìn)行了總結(jié)。

表1. 良率分析方法

Yield Analysis Tool	Technique	Best used for
SPICE	Multiple simulations	Brute force proof circuit will work, awkward for gaining intuition
SPICE	SENS sensitivity analysis	Brute force method, good for getting intuition about what components matter
Exact closed-form analysis	Using an equation for the circuit performance calculate sensitivities. Using equations for the component variations and the sensitivities calculate the probability of meeting spec	Very simple problems only, gives good insight into technique
Microsoft Excel, MathCAD	Create cdfs with manufacturing data, model circuit with	Intermediate complexity, can incorporate real world data, gives good intuition into the problem

本文將介紹如何使用Microsoft Excel進(jìn)行良率分析。

我們討論了概率分布函數(shù)等基本的良率分析概念，我們將了解如何按照所要求的概率分布隨機(jī)生成元件值。

利用元件值和設(shè)計(jì)公式確定良率

電路由元器件組成。這些元件組裝后構(gòu)成電路，運(yùn)行狀況遵循一定的規(guī)則或設(shè)計(jì)公式。為了進(jìn)行良率分析，需要了解元件值的變化和設(shè)計(jì)公式。

例如，對于圖1所示簡單的放大電路，已知R_f和R_g電阻后(假設(shè)是一個(gè)理想的運(yùn)算放大器)，可以很容易地計(jì)算出該電路的增益。實(shí)際應(yīng)用中，如果數(shù)百次地構(gòu)建該電路，將會(huì)發(fā)現(xiàn)每次的R_f和R_g元件值均不同。對該電路進(jìn)行測試時(shí)，每次構(gòu)建電路的增益也不同。

該電路中，元件值的變化源于電阻的容差。增益計(jì)算公式為：增益 = - R_f / R_g。例如，如果取R_f = 1kΩ、R_g = 1kΩ，則增益為-1。


圖1. 反相運(yùn)算放大器示例

最終得到的電路規(guī)格可能為：增益 = -1 ± 0.1 V/V。

元件的PDF和CDF

總之，我們無法提前預(yù)測某個(gè)元件將會(huì)出現(xiàn)的數(shù)值。但憑借經(jīng)驗(yàn)，我們可以預(yù)測多數(shù)元件的狀況，或多數(shù)產(chǎn)品的工作情形。可以利用pdf或概率分布函數(shù)描述這種狀況。

pdf是表達(dá)隨機(jī)變量X的可能取值x與實(shí)際數(shù)值出現(xiàn)概率的關(guān)系曲線或函數(shù)。例如，在我們列舉的電路中，可以得出R_f電阻值與一批電阻中出現(xiàn)該電阻值概率的關(guān)系。

cdf為累積分布函數(shù)，為隨機(jī)變量X取一個(gè)小于或等于某個(gè)x值的概率。即如果得到pdf，可以利用積分計(jì)算cdf。您可能采用高斯或正態(tài)分布的pdf，由兩個(gè)參數(shù)定義：平均值(中心值)和標(biāo)準(zhǔn)方差(約等于峰值寬度)。圖2給出了正態(tài)分布的pdf和cdf。


圖2. PDF和CDF示例

正態(tài)分布與大多數(shù)實(shí)際情況相吻合，更容易建立數(shù)學(xué)模型。但是，請務(wù)必注意！正態(tài)分布可能并不真的代表某種特定情況。例如，如果您正在使用的是20%容差的電阻，可能容差為5%的電阻已全部被篩選出去，并被出售給其他人，您看到的實(shí)際pdf如圖3所示。


圖3. 篩選元件的分布情況

按照這種分布，測量電阻與電阻標(biāo)簽完全相同的概率為零！與使用正態(tài)分布的元件電路相比，您的電路所提供的性能會(huì)很差。另外，獲得5%電阻的用戶則會(huì)得到比較好的工作特性，因?yàn)樗麄兯玫降脑母怕史植己瘮?shù)中已經(jīng)消除了偏差較大的部分。

由此可見，可供選擇的分布函數(shù)有許多，而如何選擇分布非常重要。因此，不要局限于正態(tài)分布這一種。

在Excel中產(chǎn)生隨機(jī)元件值

如果能夠生成一系列隨機(jī)數(shù)，即可用這些數(shù)值代表生產(chǎn)中所使用的電阻值。然后，用這些數(shù)值和電路公式確定電路的增益，將其與規(guī)格要求相對比，計(jì)算良率。下列各圖是我完成的情況。就20次電路構(gòu)建、±20%的增益誤差而言，良率為80% (每次運(yùn)行的結(jié)果會(huì)略有不同)。


圖4. 生成隨機(jī)電阻值

上述分析中，每個(gè)電阻均使用了均勻分布隨機(jī)變量。這種均勻分布下，取值在兩個(gè)極限值之間的概率都一樣。可以使用兩種方法生成電阻值：選擇Tools | Data Analysis | Random Number Generation，或使用RAND()函數(shù)(請參考RANDBETWEEN() )。如果采用RAND()函數(shù)，電子表格每次計(jì)算便重新產(chǎn)生一個(gè)數(shù)值(按F9鍵)。

不幸的是，大多數(shù)元件所遵循的概率分布并非均勻分布。但是，這類分析在估計(jì)最差性能時(shí)較為快速和有效。

Excel提供了大量其它函數(shù)，可以幫助我們生成更為真實(shí)的pdf。我們將在下節(jié)對其進(jìn)行介紹，之后敘述利用生產(chǎn)數(shù)據(jù)生成任意pdf的一些方法。

正態(tài)分布PDF和CDF

為了生成一種正態(tài)或高斯曲線，我們采用了內(nèi)置函數(shù)NORMDIST()。例如，對于平均值 = 0，標(biāo)準(zhǔn)方差 = 1的正態(tài)分布，“=NORMDIST($A7,0,1,FALSE)”返回x = 存儲于單元格A7的概率。

標(biāo)準(zhǔn)方差(通常稱為Σ)描述了pdf函數(shù)峰值的寬度，相當(dāng)于二次求導(dǎo)的極性變化分界點(diǎn)，我們利用該方法生成圖2所示pdf。通過將“FALSE”改變?yōu)椤癟RUE”，可以得到cdf值。

如果沒有更準(zhǔn)確的信息，則假設(shè)元件的百分比容差為±3標(biāo)準(zhǔn)方差。例如，±10%的元件會(huì)具有±10/3的標(biāo)準(zhǔn)偏差，標(biāo)稱值為±3.33%。

盡管cdf和pdf正確地描述了正態(tài)隨機(jī)變量，但它們不生成隨機(jī)元件值。理想狀態(tài)下，我們會(huì)傾向于使用類似于“RANDNORM()”的函數(shù)，所返回的隨機(jī)數(shù)符合正態(tài)分布。

生成正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)

Excel沒有提供RANDNORM()函數(shù)，但是一些附加函數(shù)提供了這種必要功能。要想生成10個(gè)標(biāo)稱值為1kΩ，具有±20%誤差范圍的電阻值，步驟如下：

1. 平均數(shù) = 1kΩ標(biāo)稱值，標(biāo)準(zhǔn)方差為1kΩ的±20%除以3 = ±200/3 = ±66.67Ω。
2. 選擇Tools | Data Analysis | Random Number Generation，使用內(nèi)置函數(shù)生成一個(gè)數(shù)列。對話框如下圖所示。

圖5. 生成隨機(jī)數(shù)的對話框

注意，我已輸入步驟1中計(jì)算得到的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)方差。輸入數(shù)字10，表示要生成的隨機(jī)數(shù)(值)個(gè)數(shù)。輸入電子表格中要求Excel輸出值的位置。輸出結(jié)果如下：


圖6. Excel生成的隨機(jī)元件值

其它有用的內(nèi)置分布

您可能已經(jīng)注意到，在Tools | Data Analysis | Random Number對話框中，Excel列舉了多種分布供您選擇。這些分布包括正態(tài)分布、均勻分布、二項(xiàng)式分布、伯努利分布、離散分布以及其它幾種分布。前面所述的均勻分布是一種估計(jì)最差性能的簡單、有效方法。二項(xiàng)式產(chǎn)生一種只有2個(gè)值(例如：1和0)的分布，常見于邏輯電路。一本好的統(tǒng)計(jì)學(xué)參考書和一些實(shí)驗(yàn)可以幫助選擇正確的分布。如果特定分布于所提供的分布不一致，可以專門制作所需要的隨機(jī)數(shù)生成器！我們將在下一節(jié)對此進(jìn)行介紹。

生成與生產(chǎn)數(shù)據(jù)一致的隨機(jī)數(shù)

有些情況下，無法找到適合的內(nèi)置函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)pdf函數(shù)。正如我們篩選電阻中所遇到的情況(圖3)，非標(biāo)準(zhǔn)分布的影響極其明顯。

這種情況下，我們會(huì)想要描繪一種分布，利用生產(chǎn)測試數(shù)據(jù)創(chuàng)建一種分布或者使用計(jì)算數(shù)據(jù)創(chuàng)建一種分布，然后生成符合這種分布的隨機(jī)數(shù)，以進(jìn)行良率分析。

創(chuàng)建此類分布以及符合這種分布的隨機(jī)數(shù)，包括如下幾個(gè)步驟(如后面圖7所示)。

1. 測量大量的實(shí)際元件或通過計(jì)算生成數(shù)據(jù)。也許能夠在進(jìn)貨檢驗(yàn)時(shí)獲得這些數(shù)據(jù)。這種原始數(shù)據(jù)將被用于創(chuàng)建pdf。
2. 將數(shù)據(jù)制作成直方圖，并根據(jù)采樣總數(shù)進(jìn)行規(guī)一化，即所有概率的和為1。這種規(guī)一化的直方圖便是我們需要的隨機(jī)數(shù)的pdf。
3. 對該pdf求積分創(chuàng)建cdf。確認(rèn)能夠單調(diào)達(dá)到最大值1。
4. 生成一個(gè)介于0和1之間的均勻分布隨機(jī)數(shù)—y~UY(0,1)。
5. 將該均勻分布隨機(jī)數(shù)用作cdf上y = P(X ≤ x)時(shí)cdf的指數(shù)，并記下x。
6. 重復(fù)步驟4和5，生成所需要的x隨機(jī)值。

圖7. 生成與生產(chǎn)數(shù)據(jù)一致的隨機(jī)數(shù)

結(jié)論

本文介紹了獲得良率分析所使用的隨機(jī)元件數(shù)值得產(chǎn)生方法。對于許多常見分布來說，Excel提供了一些快速、簡單的內(nèi)置函數(shù)。對于一些特殊情況，本文提供了一種利用均勻分布隨機(jī)數(shù)和測量cdf生成任意分布隨機(jī)數(shù)的簡單方法。