傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或余弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅里葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。理解的關鍵是：一個連續的信號可以看作是一個個小信號的疊加，從時域疊加與從頻域疊加都可以組成原來的信號，將信號這么分解后有助于處理。我們原來對一個信號其實是從時間的角度去理解的，不知不覺中，其實是按照時間把信號進行分割，每一部分只是一個時間點對應一個信號值，一個信號是一組這樣的分量的疊加。傅里葉變換后，其實還是個疊加問題，只不過是從頻率的角度去疊加，只不過每個小信號是一個時間域上覆蓋整個區間的信號，但他確有固定的周期，或者說，給了一個周期，我們就能畫出一個整個區間上的分信號，那么給定一組周期值（或頻率值），我們就可以畫出其對應的曲線，就像給出時域上每一點的信號值一樣，不過如果信號是周期的話 ，頻域的更簡單，只需要幾個甚至一個就可以了，時域則需要整個時間軸上每一點都映射出一個函數值。傅里葉變換就是將一個信號的時域表示形式映射到一個頻域表示形式；逆傅里葉變換恰好相反。這都是一個信號的不同表示形式。它的公式會用就可以，當然把證明看懂了更好。對一個信號做傅里葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個方面。幅度是表示這個頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義？頻域的相位與時域的相位有關系嗎？信號前一段的相位（頻域）與后一段的相位的變化是否與信號的頻率成正比關系。傅里葉變換就是把一個信號，分解成無數的正弦波（或者余弦波）信號。也就是說，用無數的正弦波，可以合成任何你所需要的信號。想一想這個問題：給你很多正弦信號，你怎樣才能合成你需要的信號呢？答案是要兩個條件，一個是每個正弦波的幅度，另一個就是每個正弦波之間的相位差。所以現在應該明白了吧，頻域上的相位，就是每個正弦波之間的相位。傅里葉變換用于信號的頻率域分析，一般我們把電信號描述成時間域的數學模型，而數字信號處理對信號的頻率特性更感興趣，而通過傅立葉變換很容易得到信號的頻率域特性。傅里葉變換簡單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號中振幅較大（能量較高）信號對應的頻率，從而找出雜亂無章的信號中的主要振動頻率特點。如減速機故障時，通過傅里葉變換做頻譜分析，根據各級齒輪轉速、齒數與雜音頻譜中振幅大的對比，可以快速判斷哪級齒輪損傷。拉普拉斯變換，是工程數學中常用的一種積分變換。它是為簡化計算而建立的實變量函數和復變量函數間的一種函數變換。對一個實變量函數作拉普拉斯變換，并在復數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可采用傳遞函數代替微分方程來描述系統的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性（見信號流程圖、動態結構圖）、分析控制系統的運動過程（見奈奎斯特穩定判據、根軌跡法），以及綜合控制系統的校正裝置（見控制系統校正方法）提供了可能性。拉普拉斯變換在工程學上的應用：應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，使問題得以解決。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個信號從時域上，轉換為復頻域（s域）上來表示；在線性系統，控制自動化上都有廣泛的應用。在數字信號處理中，Z變換是一種非常重要的分析工具。但在通常的應用中，我們往往只需要分析信號或系統的頻率響應，也即是說通常只需要進行傅里葉變換即可。那么，為什么還要引進Z變換呢？